2023　三重大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．複素数$x=\sqrt{2}+i$が$x^3+ax+b=0$の一つの解となるように$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{125}}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{m=1}^6}{2}^m}{{\displaystyle \sum _{k=1}^n}2k}}$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　${\log }_{10}2=p\text{，}$${\log }_{10}3=q$として，${\log }_{2}5$と${\log }_2(5!)$を$p\text{，}$$q$で表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$\cos \theta =\alpha$として，$\cos 3\theta$を$\alpha$で表せ．また，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{9}}$のとき，三角関数の積$\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　大袋の中に青球$1$個，白球$1$個が入っており，小袋の中に赤球$1$個，青球$1$個，白球$1$個が入っている．いま，小袋から色を見ずに球を$2$個取り出して大袋に入れた．この後，大袋から球を$1$個取り出したとき，それが赤球である確率を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．また，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=s\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|=t$とおく．

　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=1$が成り立っているとして，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle BAC}=\theta$として，$\cos \theta$を求めよ．また，$\mathrm{▵APQ}$の面積を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{O}$から$\mathrm{▵ABC}$に下ろした垂線と$\mathrm{▵ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が成り立っているとき，$\mathrm{▵APQ}$の面積を求めよ．

【３‐１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で$y=x+2\sin x$の増減と極値，およびグラフの凹凸を調べよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin x\mathit{dx}$と${\displaystyle \int }{\sin }^{2}x\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で曲線$y=x+2\sin x$と直線$y=x$とで囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【３‐２】　$n$を$2$以上の自然数とし，$f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}$$+\cdots +a_{n-1}x+a_n$とおく．ただし，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_n$は定数である．以下の問いに答えよ．

(1)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x+4h)-f(x)}{h}}$の$x^{n-1}$と$x^{n-2}$の係数を答えよ．

(2)　すべての実数について

$\underset{h\to 0}{\lim }\{{\displaystyle \frac{x}{8}}{\displaystyle \frac{f(x+4h)-f(x)}{h}}-2f(x)-2x^3+x^2+9x\}=0$

が成り立つとき，$n$を求め，$f(x)$を具体的に表せ．

(3)　$f(x)$を(2)で得られた関数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　平面上の定点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に対し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}$$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=4$とする．点$\mathrm{P}$が$(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})=0$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く曲線の長さを求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　大袋に赤球$5$個と白球$1$個が，小袋に赤球$2$個と白球$2$個が入っている．各袋から$1$個ずつ球を取り出して，色を確かめずに，それぞれ出した袋と逆の袋に入れる．その後でさらに，各袋から$1$個ずつ球を取り出すとき，最後に出した$2$個の球が同じ色である確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　$a$を正の実数として，複素数$1+ai$の偏角を$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．このとき，複素数$a+i$の偏角を$\theta$で表せ．さらに，${(1+ai)}^6+{(a+i)}^6$の実部を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_j\}$が次のように与えられているとする．ただし，$r$は正の定数とする．

$a_1=r^2-12r\text{，}$$a_{n+1}=r{a}_n+(r-1)r^{2n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=-29\text{，}$$b_{j+1}-b_j={\displaystyle \frac{6}{1-4j^2}}$$\text{（}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．さらに，$n$と$r$を用いて一般項$a_n$を表す式を予想し，その予想が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

(2)　一般項$b_j$を$j$を用いて表せ．

(3)　$n$を与えたとき，$a_n<b_j<a_{n+1}$となる$j$が無限に多く存在するような$r$の範囲を$n$を用いて表せ．

【３】　以下の問いに答えよ．必要ならば，正の数$a$に対し，$a>\log (a+1)$であることを用いてよい．

(1)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (n+1)}{n\log n}}\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n\{\log n-\log (n+1)\}}{\log n}}$を求めよ．

(2)　関数$y=x\log (x+1)-(x+1)\log x$$\text{（}x>1\text{）}$について，常に$y^{\prime }<0$であることを示せ．さらに$y^{″}$の符号と$\underset{x\to \infty }{\lim }y$を調べて，この関数のグラフをかけ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x\log (x+1)\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }(x+1)\log x\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$n$を$4$以上の自然数とし，曲線$y=x\log (x+1)-(x+1)\log x$と$x$軸，および$2$直線$x=3\text{，}$$x=n$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n\log n}}$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_j\}$が次のように与えられているとする．ただし，$r$は正の定数とする．

$a_1=r^2-12r\text{，}$$a_{n+1}=r{a}_n+(r-1)r^{2n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=-29\text{，}$$b_{j+1}-b_j={\displaystyle \frac{6}{1-4j^2}}$$\text{（}j=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．さらに，$n$と$r$を用いて一般項$a_n$を表す式を予想し，その予想が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

(2)　一般項$b_j$を$j$を用いて表せ．

(3)　$n$を与えたとき，$a_n<b_j$となる$j$が無限に多く存在するような$r$の範囲を$n$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^2}{\sqrt{x}}}\log x$$\text{（}x>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減と極値，およびグラフの変曲点を調べよ．

(2)　連立不等式$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{e^2}{\sqrt{x}}}\log x\text{，}$$0<x\leqq e^2$で定まる領域の面積$S$を求めよ．

(3)　(2)で定めた領域を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【３】　$a$を定数として，$f(x)=x^3-3x^2+a$とおく．$y=f(x)$の極小値が負で，$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の個数が$2$であるとして，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　直線$y=9x+b$が曲線$y=f(x)$の接線で，$b>0$とする．$b$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$を(1)，(2)で求めたものとして，曲線$y=f(x)$と直線$y=9x+b$で囲まれた図形の面積を求めよ．