2023　三重大学　後期工学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2^{n-1}\leqq n!$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を数学的帰納法で証明せよ．さらに，自然数$N$を与えたとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \frac{1}{n!}}<2$を示せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　${\log }_{10}2=0.30\text{，}$${\log }_{10}41=1.61$とするとき，${\log }_{10}80\text{，}$${\log }_{10}82$の値を求めよ．さらに，${10}^{0.95}<9<{10}^{0.96}$を示せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をとる．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．さらに，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$も成り立つとき，$\mathrm{▵ABC}$の三辺の長さの和を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$50$円硬貨$4$枚と，$100$円硬貨$5$枚を同時に投げたとき，表が出た硬貨の合計金額が$500$円未満となる確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　複素数$z$は実部も虚部も負であり，$z^2=-2+2\sqrt{3}i$を満たすものとする．偏角を$0$以上$2\pi$未満として，$z^2\text{，}$$z$を極形式で表せ．

【２】　連立不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+y<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\tan (x+y)\leqq \sqrt{3}$を満たす平面上の点$(x,y)$全体の領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を平面上に図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$t=3x$$+2y$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$2\sqrt{3}{\cos }^2({\displaystyle \frac{3}{2}}x+y)$$+\sin (3x+2y)$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を$\tan \alpha =3$を満たすような${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$より小さい正の数とする．定積分${\displaystyle {\int }_1^3}{\displaystyle \frac{1}{{(1+x^2)}^2}}\mathit{dx}$を$\alpha$の式で表せ．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とする．定積分${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{x}{{(1+x^2)}^n}}\mathit{dx}$を$n$の式で表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^2}{\left({\displaystyle \frac{2}{1+x^2}}\right)}^n\mathit{dx}$を求めよ．