2023　三重大学　後期生物資源学部MathJax

【１】　次の文章を読み，問１〜問３に答えよ．

　さいころが$2$つ，硬貨が$2$枚ある．それぞれを同時に投下する試行を繰り返し，次の規則に従って座標平面上の点$\mathrm{P}$が動く．ただし，点$\mathrm{P}$ははじめ原点$\mathrm{O}$$(0,0)$にある．

・さいころの出た目の和が偶数のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$1$だけ進む．

・さいころの出た目の和が奇数のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$1$だけ進む．

・硬貨が$2$枚とも表のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$1$だけ進む．

・硬貨が$2$枚とも裏のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$1$だけ進む．

・硬貨が表と裏$1$枚ずつのとき，点$\mathrm{P}$は動かない．

(例)さいころの出た目の和が偶数で硬貨が表と裏$1$枚ずつの場合，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$1$だけ進む．

　このとき，以下の問いに答えよ．

問１　試行を$2$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が点$(2,2)$にある確率を求めよ．

問２　試行を$4$回繰り返したとき，$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．

問３　試行を$4$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が$y=x-1$の直線上にある確率を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　点$(a,b)$を中心とし，半径が$3$の円を$C$とする．円$x^2+y^2=5$と円$C$との$2$つの共有点を通る直線が$x-y+1=0$となる点$(a,b)$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$つの共有点と点$(a,b)$を通る円の中心と半径を求めよ．

【３】　$k$は定数とする．関数$f(x)=x^3$$+k(3x^2+3x+1)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極値をもつための定数$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$が極値をとる$x$の値を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$|f(\alpha )-f(\beta )|$を$k$を用いて表せ．

(3)　$\beta -\alpha =2\sqrt{2}$のとき，$|f(\alpha )-f(\beta )|$の値を求めよ．また，このときの$k$の値を求めよ．