2023　京都教育大学　前期MathJax

【１】　$k$は実数であるとする．方程式

${(x-2)}^2+{(y-3)}^2-4$$+k(x^2+y^2-1)=0$

で表される図形が円になるような，$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　$xy$平面上の点で，$x$座標も$y$座標も整数である点を格子点と呼ぶ．不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$で表される$xy$平面上の領域を$D$とおく．自然数$n$に対し，直線$y=-2x+n$と$D$の交わり上にある格子点の個数を$a_n$で表す．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5\text{，}$$a_6\text{，}$$a_7$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対し，${\displaystyle \sum _{k=1}^{2n+1}}{a}_k$を求めよ．

【３】　$\theta$は実数であるとする．

(1)　${\sin }^{2}2\theta ={\sin }^2\theta$となるための，$\theta$に関する条件を求めよ．

(2)

$\{\begin{array}{l}{a}_1={\sin }^2\theta \text{，}\\ a_{n+1}=4a_n-4a_n^2& \text{（}n\geqq 1\text{）}\end{array}$

とする．

(a)　$a_2\text{，}$$a_3$を$\theta$と三角関数を用いて表せ．

(b)　$k$は自然数であるとする．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{k}}$とするとき，$a_{n+1}=a_n$をみたす$n$が存在するための$k$に関する条件を求めよ．

【４】(1)　$a$は$0$以上$99999$以下の整数であるとする．$a$を十進法で表したとき，各桁の数字の表す数の和が$9$の倍数であることは，$a$が$9$の倍数であるための必要十分条件であることを証明せよ．

(2)　正二十面体の$20$個の面に，$0$から$9$までの数字を，$2$面ずつに書いた乱数さいというサイコロがある．乱数さいを投げたとき，$0$から$9$までの数字が等確率で出るとして，以下の問題に答えよ．

(a)　乱数さいを$5$回投げ，$k$回目に出る目を${10}^{5-k}$の位の数字とする$5$桁の十進数を作る．なお，初回から$l$回続けて$0$が出て，$(l+1)$回目に$0$以外の目が出た場合には，最初の$l$回を無視して，$(5-l)$桁の十進数を作り，すべて$0$が出た場合には，十進数$0$を作る．このとき，この十進数が表す整数が，$9$の倍数である確率を求めよ．

(b)　乱数さいを$5$回投げるとき，出る目の和が$9$の倍数になる確率を求めよ．

【５A】　$a\text{，}$$b$は$0<a<b$をみたす実数であるとし，$\mathrm{A}$$(0,a)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(b,a+b)$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円を$S_1$とし，$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通り，$S_1$と半径が同じで，$S_1$と異なる円を$S_2$とおく．

(1)　円$S_1$の中心の座標と半径を求めよ．

(2)　円$S_2$の中心の座標を求めよ．

(3)　$S_1$と$S_2$を合わせた図形を$S$とおく．すなわち$S=S_1\cup S_2$とする．直線$y=x+k$と$S$が共有点を持つような$k$の範囲を求めよ．

【５B】　$f(t)={\sin }^{3}t$とし，次の媒介変数表示

$\{\begin{array}{l}x=f(t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}\\ y=f(t)\text{，}\end{array}$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

で与えられる曲線について考える．

(1)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$に対応する点を求めよ．

(2)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$に対応する点における曲線の接線を求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における曲線の長さ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sqrt{{\{{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}f(t)\}}^2+{\{{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}f(t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\}}^2}\mathit{dt}$を求めよ．