2023　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　開区間$(0,1)$で定義された$2$つの関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_{x^2}^1}{\displaystyle \frac{\log t}{t}}\mathit{dt}\text{，}$$g(x)={\displaystyle {\int }_{x^2}^1{\displaystyle \frac{\log t}{\sqrt{t}}}\mathit{dt}}$

を考える．

(1)　関数$f(x)$および$g(x)$を求めよ．

(2)　$x$の関数${\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}$は開区間$(0,1)$で増加することを示せ．

【２】　$a$を正の実数とする．関数$f(x)=e^{ax}$を考え，自然数$n$に対し，連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq x\leqq n\\ 0\leqq y\leqq f(x)\end{array}$

の表す$xy$平面内の領域を$D_n$とする．$D_n$の点$(x,y)$のうち，$x$と$y$がともに整数であるものの個数を$S(n)$とし，また，$D_n$の面積を$T(n)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対し，$T(n)$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対し，$R(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}f(k)$とおく．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{R(n)}{e^{an}}}$を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to }{\lim }{\displaystyle \frac{S(n)}{T(n)}}$を求めよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{e^{an}}}=0$であることを証明なしに用いてよい．

【３】　$i$を虚数単位とする．$\alpha$と$\beta$は異なる複素数とする．$\alpha$とも$\beta$とも異なる複素数$z$が条件

${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \left|{\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}\right|\leqq 3$かつ${\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}$の偏角は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である

を満たしながら動く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　実数$|z-\alpha |+|z-\beta |$の取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　実数$|z-\alpha |+|z-\beta |$が(1)の値の範囲内の最小の実数に等しくなるような$z$の値をすべて求めよ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}(\sin t)e^{-{(t-x)}^2}\mathit{dt}$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$

により定める．このとき，$x$に関する方程式

$f(x)+f^{″}(x)=0$

の，$0<x<\pi$の範囲における実数解の個数を求めよ．ただし，$f^{″}(x)$は関数$f(x)$の第$2$次導関数である．