2023　大阪大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^n\leqq {(-1)}^n\{{\displaystyle \frac{1}{x+1}}-1-{\displaystyle \sum _{k=2}^n}{(-x)}^{k-1}\}$$\leqq x^n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{n+1}$

(2)　$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}}$とするとき，次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{(-1)}^{n}n(a_n-\log 2)$

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が

$|2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$かつ$(2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})={\displaystyle \frac{1}{3}}$

をみたすとする．

(1)　$(2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot (\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}})$を求めよ．

(2)　平面上の点$\mathrm{P}$が

$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})|\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot (2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$

をみたすように動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$\mathrm{P}$を座標平面上の点とし，点$\mathrm{P}$の座標を$(a,b)$とする．$-\pi \leqq t\leqq \pi$の範囲にある実数$t$のうち，曲線$y=\cos x$上の点$(t,\cos t)$における接線が点$\mathrm{P}$を通るという条件をみたすものの個数を$N(\mathrm{P})$とする．$N(\mathrm{P})=4$かつ$0<a<\pi$をみたすような点$\mathrm{P}$の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

【４】　$a\text{，}$$b$を$a^2+b^2>1$かつ$b\ne 0$をみたす実数の定数とする．座標空間の点$\mathrm{A}$$(a,0,b)$と点$\mathrm{P}$$(x,y,0)$をとる．点$\mathrm{O}$$(0,0,0)$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{AP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　${(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}})}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|}^2$が成り立つことを示せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=1$をみたすように点$\mathrm{P}$$(x,y,0)$が$xy$平面上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【５】　$1$個のさいころを$n$回投げて，$k$回目に出た目を$a_k$とする．$b_n$を

$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_1^{n-k}{a}_k$

により定義し，$b_n$が$7$の倍数となる確率を$p_n$とする．

(1)　$p_1\text{，}$$p_2$を求めよ．

(2)　数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とする．$\theta$についての方程式

$\cos 2\theta =a\sin \theta +b$

が実数解をもつような点$(a,b)$の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

【２】　正の実数$a\text{，}$$x$に対して，

$y={({\log }_{\frac{1}{2}}x)}^3+a({\log }_{\sqrt{2}}x)({\log }_4{x}^3)$

とする．

(1)　$t={\log }_{2}x$とするとき，$y$を$a\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$x$が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 8$の範囲を動くとき，$y$の最大値$M$を$a$を用いて表せ．