2023　神戸大学　前期MathJax

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{（}x\leqq 1\text{）}\\ 2x-1& \text{（}x>1\text{）}\end{array}$

で定める．$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=a\text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問に答えよ．

(1)　すべての実数$x$について$f(x)\geqq x$が成り立つことを示せ．

(2)　$a\leqq 1$のとき，すべての正の整数$n$について$a_n\leqq 1$が成り立つことを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を$n$と$a$を用いて表せ．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解をもつための$a$と$b$がみたすべき必要十分条件を求めよ．

(2)　$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解の実部が共に$0$より小さくなるような点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(3)　$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解の実部が共に$-1$より大きく，$0$より小さくなるような点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(1)　この袋から同時に$2$枚のカードを取り出したとき，そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ．

(2)　この袋から同時に$3$枚のカードを取り出したとき，そのカードに書かれている数の和が偶数である確率を求めよ．

(3)　この袋から同時に$2$枚のカードを取り出したとき，そのカードに書かれている数の和が$2n+1$以上である確率を求めよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　実数$s\text{，}$$t$を$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたすように定めるとき，$s$と$t$の値を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

$x=\sin t\text{，}$$y=\cos (t-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\sin t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

で表される曲線を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}=0$または${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}=0$となる$t$の値を求めよ．

(2)　$C$の概形を$xy$平面上に描け．

(3)　$C$の$y\leqq 0$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解をもつための$a$と$b$がみたすべき必要十分条件を求めよ．

(2)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもち，それらが共に$-1$より大きく，$0$より小さくなるような点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(3)　$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解の実部が共に$-1$より大きく，$0$より小さくなるような点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．ただし，$2$次方程式の重解は$2$つと数える．

(P)　$2$人は持っている硬貨すべてを同時に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の枚数を数え，その枚数が少ない方が相手に$1$枚の硬貨を渡す．表が出た硬貨の枚数が同じときは硬貨のやりとりは行わない．

操作(P)を繰り返し，$2$人のどちらかが持っている硬貨の枚数が$3$枚となった時点でこのゲームは終了する．操作(P)を$n$回繰り返し行ったとき，$\mathrm{A}$が持っている硬貨の枚数が$3$枚となってゲームが終了する確率を$p_n$とする．ただし，どの硬貨も$1$回投げたとき，表の出る確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$p_1$の値を求めよ．

(2)　$p_2$の値を求めよ．

(3)　$p_3$の値を求めよ．

$C_1\text{：}{x}^2+y^2=a\text{，}$$C_2\text{：}{x}^2+y^2-6x-4y+3=0$

が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっているとする．直線$\mathrm{AB}$が$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$(p,0)\text{，}$$(0,q)$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$p\text{，}$$q$の値を$a$を用いて表せ．

(3)　$p\text{，}$$q$の値が共に整数となるような$a$の値をすべて求めよ．