2023　神戸大学　後期MathJax

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}=x{e}^{-a{x}^2}$

をみたしている．以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$b$を実数とする．方程式$f(x)=b$が異なる$4$個の実数解をもつための$a\text{，}$$b$のみたす必要十分条件を求めよ．

　ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x^2}=0$であることは用いてよい．

(1)　$a+2b=301$をみたす正の整数の組$(a,b)$の個数を求めよ．

(2)　$2a+3b=401$をみたす正の整数の組$(a,b)$の個数を求めよ．

(3)　$2a+2b+3c=601$をみたす正の整数の組$(a,b,c)$の個数を求めよ．

(1)　$\sqrt{p}$は無理数であることを示せ．

(2)　複素数$z$について，$f(z)=0$ならば$f(\bar{z})=0$であることを示せ．ただし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(3)　$a\text{，}$$b$が有理数ならば$f(w)\ne 0$であることを示せ．

(1)　$x>0$のとき，$f^{\prime }(x)>0$であることを示せ．

(2)　曲線$y=f(x)$$\text{（}x>0\text{）}$と$y$軸および$2$直線$y={\displaystyle \frac{e^2-1}{2}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{e^3-1}{3}}$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

(1)　$\mathrm{OA}={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin (\alpha +3\beta )}}$であることを示せ．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}$$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．$y=f(x)$のグラフは下に凸であることを示せ．

(3)　$\mathrm{OA}+\mathrm{OB}$と$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$の大小を比較せよ．