2023　奈良教育大学　前期MathJax

2023-10621-0101

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2023　奈良教育大学　前期

教科-数学

易□　並□　難□

【１】　 $n$ を整数とする． $n^{2}$ を $4$ で割ったときの余りは， $0$ または $1$ であることを示せ．

2023-10621-0102

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教科-数学

易□　並□　難□

【２】　正三角形 $ABC$ において，辺 $AB$ の中点を $M ，$ 線分 $MC$ の中点を $N$ とし， $θ = ∠NBC$ とする．このときの $\cos θ$ の値を求めよ．

2023-10621-0103

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教科-数学

易□　並□　難□

【３】　変量 $x$ から得られた $5$ 個の値を，値が小さいものから順に並べ直したデータを $x_{1} ，$ $x_{2} ，$ $x_{3} ，$ $x_{4} ，$ $x_{5}$ とする．つまり， $x_{1} ≦ x_{2} ≦ x_{3} ≦ x_{4} ≦ x_{5}$ である．また，このデータの平均値を $\overline{x} ，$ 分散を $s_{x}^{2}$ とする．いま，このデータの最小値 $x_{1}$ を値 $y_{1}$ に，最大値 $x_{5}$ を値 $y_{5}$ に置き換える．こうして得られたデータ $y_{1} ，$ $x_{2} ，$ $x_{3} ，$ $x_{4} ，$ $y_{5}$ の平均値を $\overline{y} ，$ 分散を $s_{y}^{2}$ とする．

(1)　 $s_{y}^{2} = \frac{1}{5} {{(y_{1} - \overline{x})}^{2}$ $+ {(x_{2} - \overline{x})}^{2}$ $+ {(x_{3} - \overline{x})}^{2}$ $+ {(x_{4} - \overline{x})}^{2}$ $+ {(y_{5} - \overline{x})}^{2}}$ $- {(\overline{y} - \overline{x})}^{2}$ となることを証明せよ．

(2)　 $y_{1} = x_{2} ≦ \overline{x} ，$ $y_{5} = x_{4} ≧ \overline{x}$ のとき， $s_{x}^{2} ≧ s_{y}^{2}$ を証明せよ．

2023-10621-0104

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教科-数学

易□　並□　難□

【４】　次の漸化式で与えられる数列 ${a_{n}}$ について，以下の問いに答えよ．

$a_{n} = 3 a_{n - 1} - 2 a_{n - 2}$ $（ n ≧ 3 ）$

ただし， $a_{1} = 1 ，$ $a_{2} = 3$ とする．

(1)　上記の漸化式を次の形に変形するとき， $2$ つの実数の組 $(α, β)$ をすべて求めよ．

$a_{n} - α a_{n - 1} = β (a_{n - 1} - α a_{n - 2})$ $（ n ≧ 3 ）$

(2)　一般項 $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(3)　極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ を求めよ．

2023-10621-0105

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教科-数学

易□　並□　難□

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の関数の導関数を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

$(ⅰ) \log | x + \sqrt{1 + x^{2}} |$ $(ⅱ) \frac{1}{2} (x \sqrt{1 + x^{2}} + \log | x + \sqrt{1 + x^{2}} |)$

(2)　次の等式を示せ．

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{3} x}{\sqrt{1 + \sin^{2} x}} dx = \frac{1}{2} {3 \log (1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2}}$