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2023-10631-0101
2023 奈良女子大学 前期
理学部
易□ 並□ 難□
【1】 座標空間に点 A (1, 0,1 ), B (-1 ,1,3 ), 点 C (0 ,2,3 ) をとる.原点を O とする.以下の問いに答えよ.
(1) 3 点 A , B , C は一直線上にないことを示せ.
(2) 3 点 A , B , C の定める平面を α とする.点 O は平面 α 上にないことを示せ.
(3) 点 O から(2)で定めた平面 α に垂線 OH を下ろすとき,点 H の座標を求めよ.
2023-10631-0102
【2】 n を 3 以上の自然数とする. n 枚のカードに 1 から n までの数が 1 つずつ書かれている.この n 枚のカードから 3 枚のカードを同時に引く.引いたカードに書かれている数を小さい順に a , b , c とおく.以下の問いに答えよ.
(1) c=n となる確率を求めよ.
(2) b=a+ 1 となる確率を求めよ.
(3) a+b= n となる確率を P ⁡(n ) とする.以下の(ⅰ),(ⅱ)に答えよ.
(ⅰ) P⁡( 5) , P⁡( 6) を求めよ.
(ⅱ) P⁡( n) を求めよ.
2023-10631-0103
【3】 関数 f ⁡(x )=x 2- 1x について, y=f ⁡(x ) のグラフを C とする. k を実数とし, C 上の点 A (1 ,0) を通り傾きが k の直線を l とする.以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) の増減,極値,および凹凸を調べ, C の概形をかけ.
(2) C と直線 l の共有点が 2 つであるとき, k の値を求めよ.
(3) C と直線 l の共有点が 3 つであるとき, 3 つの共有点の x 座標がすべて正であるような k の条件を求めよ.
(4) k が(3)で求めた条件をみたすとする.曲線 y =f⁡( x) ( x>0 ) と直線 l で囲まれる 2 つの部分の面積の和を k を用いて表せ.
2023-10631-0104
生活環境,工学部
【4】 a を正の実数とする.関数 f ⁡(x )=a ⁢x2 +( |a- 2| +1) ⁢x+a について,以下の問いに答えよ.
(1) 方程式 f ⁡(x )= 0 が異なる 2 つの実数解をもつとき, a の条件を求めよ.
(2) a が(1)で求めた条件をみたすとする.曲線 y =f⁡( x) と x 軸で囲まれる部分の面積を a を用いて表せ.
2023-10631-0105
【5】 a , b を正の実数とする.座標平面上に点 A (a, 3⁢a ), 点 B (3 ⁢b,- b) をとる.原点を O とし, 3 点 O , A , B を通る円を C とする. x 軸と C の共有点で, O とは異なるものを D (d ,0) とする.以下の問いに答えよ.
(1) ∠ADB を求めよ.
(2) d を a , b を用いて表せ.
(3) d≧1 のとき,三角形 ABD の面積の最小値を求めよ.
2023-10631-0106
【6】 座標平面上の曲線 C :y= 1 2⁢x ( x>0 ) を考える. k を実数とし,点 ( 1,1 ) を通り傾きが k の直線を l とする. C と l が 2 つの共有点 A , B をもつとき,以下の問いに答えよ.
(1) k の条件を求めよ.
(2) 線分 AB の長さ L について,以下の(ⅰ),(ⅱ)に答えよ.
(ⅰ) L を k を用いて表せ.
(ⅱ) L≧2 が成り立つことを示せ.また, L=2 が成り立つとき, k の値を求めよ.