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2023-10631-0201
2023 奈良女子大学 後期
理学部
易□ 並□ 難□
【1】 2 つの関数 F ⁡(x ), g⁡( x) が
F⁡( x)= ∫1 x( x−2⁢ t)⁢ g′ ⁡(t )⁢ dt ( x>0 )
をみたすとする.ここで g′⁡ (t ) は g ⁡(t ) の導関数とする.以下の問いに答えよ.
(1) F⁡( x) の導関数 F ′⁡( x) に対して,次の等式が成り立つことを示せ.
F′ ⁡(x )=g ⁡(x )-g ⁡(1 )-x ⁢g′ ⁡( x)
(2) g⁡( x)= x( log⁡x )2 のとき, F⁡( x) を求めよ.ここで対数は自然対数とする.
2023-10631-0202
【2】 r を正の実数とする.座標平面において,点 A (0 ,1 ) を中心とする半径 r の円を C 1 とし,点 B (0, -1) を中心とする半径 r の円を C 2 とする. C1 と C 2 が 2 点で交わるとき,以下の問いに答えよ.
(1) r の条件を求めよ.
(2) C1 と C 2 の 2 つの共有点の座標をそれぞれ r を用いて表せ.
(3) C1 と C 2 の 2 つの共有点のうち x 座標が大きいほうを D とする.点 D における C 1 の接線を l 1 , 点 D における C 2 の接線を l 2 とする. l1 の傾きと l 2 の傾きをそれぞれ r を用いて表せ.
(4) (3)で定めた直線 l 1 , l2 について, l1 と l 2 のなす角を θ (0 <θ≦ π 2 ) とする. θ= π3 となるような r の値をすべて求めよ.
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【3】 a を正の実数とし, i を虚数単位とする. 2 つの複素数
z=( a+3 ⁢i) ⁢(3 +a⁢i ), w=1 +3⁢ i
を考える. z は | z|= 6⁢2 をみたすとする.以下の問いに答えよ.
(1) a の値を求めよ.
(2) z の偏角 θ を 0 ≦θ< 2⁢π の範囲で求めよ.
(3) zn ⁢w が実数となる最小の自然数 n を求めよ.