2023　和歌山大学　前期MathJax

　以上の状況のもとで，以下の問１，問２に答えなさい．なお，メタバースでの事象 が起きる確率やさまざまな出来事などは，現実の世界と同じであると考えなさい．

$\mathrm{W}$社のホームページより

問１　$\mathrm{W}$社のイベントが開始された．メタバースの広大なホールは超満員で$\stackrel{\text{りっすい}}{\text{立錐}}$の余地もない．ホール責任者の説明が始まった．

「みなさま，当社のイベントによくいらっしゃいました．本日のイベントでは，$4$つのゲームをご用意しております．それらのゲームにチャレンジしていただいて，どれか$1$つのゲームをクリアできれば，当社ならではの豪華な賞品を進呈させていただきます．」

　ゲームはa，b，c，dの$4$つであり，それぞれ以下の条件を満たしたときにクリアとなる．

a．さいころ$11$個を同時に振り，すべての目が$1$になる．

b．ルーレットに$1$つの球を$7$回投げ，どの回においても$1$または$36$の目に球が入る．このルーレットの目は$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$35\text{，}$$36$の$37$個であり，それぞれの目に球が入る確率は等しい．また，投げ入れた球は毎回取り出すものとする．

c．トランプの$\mathrm{A}\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9\text{，}$$10\text{，}$$\mathrm{J}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{K}$をそれぞれ$4$枚ずつ，合計で$52$枚のカードを，裏向きにしてよくかき混ぜ，裏向きのまま$10$枚選び，その$10$枚を表向きにして確認すると，すべて$\mathrm{J}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{K}$のピクチャーカード（絵札）となっている．

d．花札の$1$月，$2$月，$3$月，$4$月，$5$月，$6$月，$7$月，$8$月，$9$月，$10$月，$11$月，$12$月をそれぞれ$1$枚ずつ，合計で$12$枚のカードを，裏向きにしてよくかき混ぜ，裏向きのまま横一列に並べ，その$12$枚を表向きにして確認すると，左から$1$月，$2$月，$3$月，$\cdots \text{，}$$11$月，$12$月と月の小さい順に並んでいる．花札はトランプのようなカードゲームで，裏面は無地で月の区別はつかなくなっており，$\stackrel{\text{おもてめん}}{\text{表面}}$に描かれている植物の種類によって，そのカードの月が決められている．

　説明を聞いた$\mathrm{K}$さんは「どのゲームも宝くじの$1$等を当てるより確率的に難しそうだな」と直感した．ホール責任者は，それを聞いていたかのように説明を続ける．

「みなさまは，“ゲームが難しすぎるのではないか”とお感じになったかもしれません．もちろん，私共もそれは重々承知しております．そこで，ゲームに$777$回までチャレンジできる回数券$1$枚をお一人お一人にお配りします．」

　ホール責任者の説明は続く．

「a，b，c，dいずれかのゲームに$1$回チャレンジするたびに，回数券の残りの回数は$1$ずつ減っていき，$0$になるとチャレンジできなくなります．最大$777$回のチャレンジの中で，いずれかのゲームを$1$回でもクリアできれば賞品を進呈させていただきます．ゲームをクリアした時点で，チャレンジは終了となり回数券は回収させていただきます．なお，回数券の貸し借りはできないようになっています．」

　以上の説明を聞いて，$\mathrm{K}$さんは「$777$回チャレンジできてもゲームをクリアする確率は相当に小さそうだな」と感じた．しかし，せっかく参加したこともあり，ゲームをクリアする確率が最も大きい行動をとりたいと考えた．

　以上の状況のもとで，以下の(1)，(2)に答えなさい．次の表で示す常用対数の値を用いなさい．

(1)　ゲームa，b，c，dのそれぞれについて，$1$回のチャレンジでクリアする確率を${10}^r$$\text{（}r$は実数，例：${10}^{-3.21}\text{）}$の形で求めなさい．

(2)　$777$回以内にゲームをクリアする確率を最も大きくするために，$\mathrm{K}$さんはどのように行動するべきですか．また．その行動をとった場合にゲームをクリアする確率を，(1)と同様に${10}^r$の形で求めなさい．なお，$\left|x\right|<{10}^{-6}$のとき，${(1+x)}^n=1+nx$として計算してかまいません．

問２　問１の検討に基づいて行動した$\mathrm{K}$さんは，イベント参加者の中でただ$1$人奇跡的にクリアできた．$\mathrm{K}$さんは社長室に案内された．しばらくすると社長が登場し，$\mathrm{K}$さんに向かって話し始めた．

「おめでとうございます．当社がご用意している賞品はこれです．」

　社長は机の上にカードを置いた．その$\stackrel{\text{おもてん}}{\text{表面}}$には〝WARICA”と書かれている．社長が話を続ける．

「これは，仮想通貨をチャージできるウォレットカードです．いま，このカードには，当社のメタバースで使える仮想通貨$1000$万ワリカがチャージされています．」

　さらに社長は$3$つのさいころを机の上に置いた．社長の話は続く．

「この$1000$万ワリカがチャージされたカードを持ち帰っていただいても結構です．しかし，この$3$つのさいころを使ったゲームにチャレンジしていただいてクリアすると，さらに追加で仮想通貨をチャージさせていただきます．ゲームは$2$つご用意しております．」

　社長が用意している$2$つのゲーム$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は，それぞれ以下の条件を満たしたときにクリアとなる．

A．$3$つのさいころを同時に$1$回だけ振り，それらの目のうち$2$つ以上がそろう．

例：$\mathrm{⚂⚂⚅}\text{，}$$\mathrm{⚀⚀⚀}$など

B．$3$つのさいころを同時に$1$回だけ振り，それらの目の合計が$12$以上になる．

例$\mathrm{⚀⚄⚅}\text{，}$$\mathrm{⚃⚃⚄}$など

「これらのゲーム$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$にチャレンジしていただける場合は，以下の$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$の$3$つからどれかを選んでいただきます．」

$\text{①}$　ゲーム$\mathrm{A}$を選んだ後に，さいころを振る．

$\text{②}$　ゲーム$\mathrm{B}$を選んだ後に，さいころを振る．

$\text{③}$　さいころを振った後に，ゲーム$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$のどちらかを選ぶ．

　社長の説明は続く．

「$\text{①}$または$\text{②}$を選んでクリアされた場合は，この$1000$万ワリカがチャージされたカードに追加で$1200$万ワリカをチャージし，それをお持ち帰りいただけます．$\text{③}$を選んでクリアされた場合には，同様に追加で$600$万ワリカをチャージし，それをお持ち帰りいただけます．$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$のいずれかにチャレンジして失敗された場合は，このカードを持ち帰ることができません．賞品は“なし”となります．」

　$\mathrm{K}$さんは以上の説明を聞いて，「ゲームa，b，c，dに比べると随分と簡単な条件だな」と感じ，最も合理的な行動をとりたいと考えた．

　以上の状況のもとで，以下の(1)，(2)，(3)に答えなさい．

(1)　ゲーム$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をクリアする確率をそれぞれ求めなさい．計算結果は既約分数にしなさい．$3$つのさいころを同時に$1$回だけ振ったとき，目の合計が$10$以下になる確率と$11$以上になる確率が同じであることを用いてかまいません．

(2)　$3$つのさいころを同時に$1$回だけ振り，ゲーム$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を両方ともクリアする確率を求めなさい．計算結果は既約分数にしなさい．

(3)　$\mathrm{K}$さんはどのように行動するべきですか．

　確率$p$の条件を満たしたときに$w$ワリカを得られ，その条件を満たさなかったときは何も得られないとすると，平均して$wp$ワリカを得られると考えることができます．得られるワリカの平均が最大になるように行動することを，合理的な行動とします．