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2023-10681-0201
2023 島根大学 後期総合理工学部
数理科学科
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 2 次関数 y =x2 +x+3 のグラフの軸と頂点を求め,そのグラフをかけ.
(2) 整式 x 4+2⁢ x3- 3⁢x2 −4⁢ x+43 を整式 x2+ x+3 で割った商と余りを求めよ.
(3) 関数 f ⁡(x )= x4+2 ⁢x3 -3⁢ x2- 4⁢x+ 43x 2+x +3 の最小値を求めよ.
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【2】 空間内に 3 点 O (0 ,0,0 ), A (1, 0,-1 ), B (-1 ,2,2 ) がある.次の問いに答えよ.
(1) AB→ を成分で表せ.また,その大きさ | AB→ | を求めよ.
(2) OA→ と OB → の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ.
(3) 線分 AB を 4 :3 に内分する点 P の座標を求めよ.
(4) ▵OAB の面積を求めよ.
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【3】 関数 f ⁡(x )= 1 2⁢π ⁢ e- (x -1) 22 について,次の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) の導関数 f′ ⁡(x ) を求めよ.
(2) 関数 f ⁡(x ) の第 2 次導関数 f″ ⁡(x ) を求めよ.
(3) 関数 f ⁡(x ) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点がわかるように増減表をかけ.
(4) y=f⁡ (x ) のグラフをかけ.
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【4】 次の問いに答えよ.
(1) a を正の定数とする.関数 f ⁡(x ) が f ⁡(- x)= -f⁡ (x ) をみたすとき, ∫ -aa f⁡ (x) ⁢dx =0 となることを示せ.
(2) 等式
∫ 01 2 ⁢x-2 2⁢ x2- 2⁢x+ 1 ⁢dx = ∫-1 1 t−1 t2 +1 ⁢dt
を示せ.
(3) 定積分
∫ 01 2 ⁢x-2 2⁢ x2-2 ⁢x+1 ⁢ dx
を求めよ.