2023　岡山大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{7}{6}}(a_n-1)$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$とする．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$a_n$が$89$桁の整数となるとき，$n$を求めよ．

(3)　$n$を(2)で求めたものとする．$a_n$の$1$の位の数字を求めよ．

(4)　$n$を(2)で求めたものとする．$a_n$の最高位の数字を求めよ．

【２】　$a<0\text{，}$$b>0$とする．$2$つの曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$と$D\text{：}y=a{x}^2+b$がある．いま，$x>0$で$C$と$D$が共有点をもち，その点における$2$つの曲線の接線が一致しているとする．その共有点の$x$座標を$t$とし，$D$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$D$と$x$軸の交点の$x$座標を$\pm p$とし，$p>0$とする．$S$を$a$と$p$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}$$b$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S$を$t$を用いて表せ．

(4)　$t>0$の範囲で，$S$が最大となるような$D$の方程式を求めよ．

【３】　箱の中に，$1$から$3$までの数字を書いた札がそれぞれ$3$枚ずつあり，全部で$9$枚入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人がこの箱から札を無作為に取り出す．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$2$枚ずつ，$\mathrm{C}$が$3$枚取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$が持つ札の数字が同じである確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$が持つ札の数字が異なり，$\mathrm{B}$が持つ札の数字も異なり，かつ，$\mathrm{C}$が持つ札の数字もすべて異なる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$が持つ札の数字のいずれかが，$\mathrm{C}$が持つ札の数字のいずれかと同じである確率を求めよ．

【４】　$0<x<y$とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さを$x\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さを$y\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=2\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の内角$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を$2$等分する直線をそれぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}\text{，}$$l_{\mathrm{C}}\text{，}$$l_{\mathrm{D}}$とし，$l_{\mathrm{A}}$と$l_{\mathrm{B}}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}$と$l_{\mathrm{C}}$の交点を$\mathrm{F}\text{，}$$l_{\mathrm{C}}$と$l_{\mathrm{D}}$の交点を$\mathrm{G}\text{，}$$l_{\mathrm{D}}$と$l_{\mathrm{A}}$の交点を$\mathrm{H}$とする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$と四角形$\mathrm{EFGH}$が重なる部分の面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle FEH}$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AE}$および線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

(3)　点$\mathrm{H}$が平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の外部にあるような，$x\text{，}$$y$の条件を求めよ．

(4)　$S$を求めよ．

【１】　放物線$C\text{：}y=x^2$上を動く$2$点$\mathrm{P}$$(s,s^2)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,t^2)$を考える．ただし，$s<0<t$とする．$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線を$l_{\mathrm{P}}$とする．また，$\mathrm{Q}$を通り，$\mathrm{Q}$における$C$の接線と垂直に交わる直線を$l_{\mathrm{Q}}$とする．さらに，$l_{\mathrm{Q}}$は$l_{\mathrm{P}}$と垂直に交わるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$l_{\mathrm{P}}$の方程式を$s$を用いて表せ．

(2)　$l_{\mathrm{Q}}$の方程式を$s$を用いて表せ．

(3)　$l_{\mathrm{P}}$と$l_{\mathrm{Q}}$の交点を$\mathrm{R}$$(x_0,y_0)$とする．$x_0\text{，}$$y_0$を$s$を用いて表せ．

(4)　(3)の$y_0$が最小となる$s$の値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$を$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=7a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．以下の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$とする．

(1)　$a_n$が$89$桁の整数となるとき，$n$を求めよ．

(2)　$n$を(1)で求めたものとする．$a_n$の$1$の位の数字を求めよ．

(3)　$n$を(1)で求めたものとする．$a_n$の最高位の数字を求めよ．

【３】　座標空間において，$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1,0)$がある．$r$を正の実数とし，点$\mathrm{P}$$(a,b,c)$が条件$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=r\mathrm{OP}$を満たしながら動くとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$r=1$のとき，$\mathrm{OP}$が最小になるような$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(2)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　箱の中に，$1$から$3$までの数字を書いた札がそれぞれ$3$枚ずつあり，全部で$9$枚入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人がこの箱から札を無作為に取り出す．$\mathrm{A}$が$2$枚，$\mathrm{B}$が$3$枚取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$が持つ札の数字が同じである確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$が持つ札の数字のいずれかが，$\mathrm{B}$が持つ札の数字のいずれかと同じである確率を求めよ．