2023　広島大学　後期理学部物理学科

【１】

問１　円周率$\pi$の値について考える．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$について，$f(x)=x-\sin x$の値を考察することにより$\sin x\leqq x$を示せ．また，この両辺を積分することにより$2\sqrt{2}\leqq \pi$を示せ．ここで，$\sqrt{2}\fallingdotseq 1.41$である．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$について，${\displaystyle \frac{2}{\pi }}x\leqq \sin x$を示せ．また，この両辺を積分することにより$\pi \leqq 4$を示せ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$について，$\sin x\leqq x-{\displaystyle \frac{x^3}{3\pi }}$を示せ．

(4)　ここまでの結果を用いて$3\leqq \pi$を示せ．

【１】

問２　$z_1=1\text{，}$$z_2=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{N}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{N}}$で，自然数$n$に対し漸化式

$z_{n+2}-2z_{n+1}+z_n-{\Omega }^2{z}_n=0$$\cdots$(＊)

を満たす数列$\{z_n\}$について考える．ここで，$i$は虚数単位，$N$は$2$以上の自然数，$\Omega =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{N}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{N}}-1$である．

(1)　$z_3\text{，}$$z_4$を求めよ．ただし，適当な$r_n\geqq 0$と$0\leqq {\theta }_n<2\pi$$\text{（}n=3\text{，}$$4\text{）}$を用いて，極形式$z_n=r_n(\cos {\theta }_n+i\sin {\theta }_n)$の形で表せ．

(2)　自然数$n$に対して$z_n$を極形式の形で求め，それが漸化式(＊)を満たすことを示せ．

(3)　複素平面上において$z_1\text{，}$$z_2\text{，}\cdots \text{，}$$z_N$を順につないだ線分の長さの合計を$L_N$とする．$L_N$および$\underset{N\to \infty }{\lim }{L}_N$を求めよ．