2023　広島大学　総合型選抜教育学部数理系MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$個のさいころを同時に投げる試行において，出る目の積が素数になる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を実数の定数とする．$x$の$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$の解が$-1$と虚数であるための条件を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　方程式${\log }_{2-x}(2x^2-6x+1)=2$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　関数$y=2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-1$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となる点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$は$\mathrm{▵ABC}$の垂心であることを証明せよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{AB}=c\text{，}$$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b$とする．また，この$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵IAB}$と$\mathrm{▵IBC}$と$\mathrm{▵ICA}$の面積比を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　線分の長さの比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵IBC}$の面積比を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

【３】　平均値の定理

　$a\text{，}$$b$は実数とする．関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$で連続，開区間$(a,b)$で微分可能ならば，次の条件を満たす実数$c$が存在する．

${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(c)\text{，}$$a<c<b$

について，次の問いに答えよ．

(1)　この定理が意味していることを，$y=f(x)$のグラフを用いて図形的に説明せよ．

(2)　この定理において，関数$f(x)$は閉区間の端$x=a$または$x=b$においては，連続でありさえすれば，微分可能でなくてもよい．このことを，関数$y=\sqrt{4-x^2}$を例にして説明せよ．

(3)　この定理は，関数$f(x)$が開区間$(a,b)$に微分可能でない点を一つでももつと，一般には成り立たない．このことを，関数の例を一つ挙げて説明せよ．

(4)　平均値の定理を用いて，次の命題が成り立つことを示せ．

「関数$f(x)$は，すべての実数$x$で微分可能であるとする．このときすべての$x$の値で$f^{\prime }(x)=0$ならば，$f(x)$はすべての$x$の値で一定の値をとる．」