2023　山口大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=|x^2-x-2|-x-1$を考える．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$$(1,f(1))$における接線を$l$とする．このとき．次の問いに答えなさい．

(1)　方程式$f(x)=0$の解をすべて求めなさい．

(2)　$y=f(x)$の極値を調べ，そのグラフをかきなさい．

(3)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(4)　曲線$y=f(x)$と接線$l$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【２】　$7$つの文字$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{Y}$すべてを$1$列に並べてできる文字列について，次の問いに答えなさい．

(1)　文字列は全部で何通りあるか求めなさい．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$が隣り合う文字列は全部で何通りあるか求めなさい．

(3)　$2$つ以上の$\mathrm{A}$が隣り合う文字列は全部で何通りあるか求めなさい．

(4)　全部の文字列をアルファベット順の辞書式に並べるとき，文字列$\mathrm{YAMADAI}$は何番目の文字列か求めなさい．

【３】　ベクトル$\overrightarrow{a}$を$\overrightarrow{a}=(\sqrt{2}-\sqrt{6},\sqrt{2}+\sqrt{6})$とし，ベクトル$\overrightarrow{b}$を次の$2$つの条件を満たすようにとる．

・$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}$

・関数$f(t)=|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$が$t=-\sqrt{2}$で最小値をとる

　このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　次の$2$つの等式が成り立つことを示しなさい．

$\sin 15\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\text{，}$$\cos 15\mathrm{°}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{b}$を求めなさい．

【４】　複素数$z$が，$2z^4+(1-\sqrt{5})z^2+2=0$を満たしているとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$z^{10}=1$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$z+z^3+z^5+z^7+z^9$の値を求めなさい．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$が成り立つことを示しなさい．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=9\text{，}$$\mathrm{CA}=8$とし，次の$3$つの条件を満たす$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$を考える．

・円$C_1$は，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CA}$に接しており，辺$\mathrm{BC}$とは$2$点で交わらない．

・円$C_2$は，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接しており，辺$\mathrm{CA}$とは$2$点で交わらない．

・円$C_1$と円$C_2$は外接している．

このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　円$C_1$が$\mathrm{▵ABC}$の内接円であるとき，円$C_1$の半径を求めなさい．

(2)　円$C_1$と円$C_2$の半径が等しいとき，円$C_1$の半径を求めなさい．

(3)　円$C_1$の周の長さと円$C_2$の周の長さの和が最小になるとき，円$C_1$と円$C_2$の半径をそれぞれ求めなさい．

【３】　座標平面上で，不等式

${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-2\leqq y\leqq 0$または$x^2+y^2\leqq 4$

の表す領域を$D_1$とし，不等式

$y>\sqrt{3}x$かつ$x^2+y^2<2$

の表す領域を$D_2$とし，不等式

$y>-\sqrt{3}x$かつ$x^2+y^2<2$

の表す領域を$D_3$とする．また，$D_2$と$D_3$の和集合を$X$とし，$D_1$から$X$を除いた領域を$Y$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　領域$D_1$を図示しなさい．

(2)　領域$D_1$の面積を求めなさい．

(3)　領域$Y$を図示しなさい．

(4)　領域$Y$の面積を求めなさい．

【４】　$\pi =3.1415\cdots$を円周率，$e=2.7182\cdots$を自然対数の底とし，関数$f(x)=e^{-x}+\sin x-1$を考える．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$e^x(1-x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{6}})<1$

(2)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$\sin x>x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$

　必要ならば，$\theta >0$のとき，不等式$|\sin \theta |<\theta$が成り立つことを用いてよい．

(3)　関数$f(x)$は，区間$({\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$において極大値をとることを示しなさい．

(4)　方程式$f(x)=0$は，区間$(0,\pi )$においてただ$1$つの実数解をもつことを示しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$3451$と$2737$の最大公約数を$d$とするとき，ユークリッドの互除法を用いて$d$の値を求めなさい．

(2)　(1)で求めた$d$に対して，$x\text{，}$$y$についての一次不定方程式

$3451x-2737y=6d$

の整数解をすべて求めなさい．

(3)　すべての$2023$の倍数は，整数$x\text{，}$$y$を用いて$3451x-2737y$と表されることを示しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x^4-6x^2+25$を因数分解しなさい．

(2)　方程式$x^4-6x^2+25=0$の$4$つの解を$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$とするとき，$p^3+q^3+r^3+s^3$の値を求めなさい．

(3)　(2)で定めた$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$に対して，$p^3{q}^3+p^3{r}^3+p^3{s}^3$$+q^3{r}^3$$+q^3{s}^3$$+r^3{s}^3$の値を求めなさい．