2023　山口大学　後期理学部数理科学科MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=2\text{，}$$a_n=n+1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}(k+2)a_k$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$

で定める．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a_2$を求めなさい．

(2)　$n\geqq 2$に対して

$a_n=2a_{n-1}+2$

が成り立つことを示しなさい．

(3)　(2)の結果を利用して数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　座標空間において，$x$座標，$y$座標，$z$座標がすべて整数である点を格子点という．格子点上を次の規則に従って動く点$\mathrm{P}$を考える．

(ⅰ)　最初に，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にある．

(ⅱ)　ある時刻で点$\mathrm{P}$が格子点$(l,m,n)$にあるとき，その$1$秒後の点$\mathrm{P}$の位置は，次の$6$つの格子点

$(l+1,m,n)\text{，}$$(l,m+1,n)\text{，}$$(l,m,n+1)$

$(l-1,m,n)\text{，}$$(l,m-1,n)\text{，}$$(l,m,n-1)$

のいずれかであり，また，これらの点に移動する確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．

　$t$秒後の点$\mathrm{P}$の位置に関して，次の問いに答えなさい．

(1)　$t=3$とする．点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にある確率を${\displaystyle \frac{N_1}{6^3}}$と表すとき，$N_1$の値を求めなさい．

(2)　$t=4$とする．点$\mathrm{P}$が$x$軸上にある確率を${\displaystyle \frac{N_2}{6^4}}$と表すとき，$N_2$の値を求めなさい．

(3)　$t=5$とする．点$\mathrm{P}$が原点を中心とする半径$4$の球の外側にある確率を${\displaystyle \frac{N_3}{6^5}}$と表すとき，$N_3$の値を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の曲線$y=\sqrt{1-4x^2}$を$C$とする．曲線$C$上の第$1$象限にある点$\mathrm{A}$における接線を$l$とし，接線$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　直線$\mathrm{OA}$の傾きを$m\text{，}$接線の傾きを$n$とするとき，$mn$の値は点$\mathrm{A}$のとり方によらず一定であることを示しなさい．

(2)　$\mathrm{▵OPQ}$の面積が$\mathrm{▵OPA}$の面積の$2$倍であるときを考える．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．

(ⅱ)　曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OP}$とで囲まれた部分の面積を求めなさい．