2023　山口大学　後期理学部物理情報科,化,生物学科MathJax

【１】　箱の中に$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードが入っている．この箱からカードを$4$枚取り出し，それらの数字を調べてからもとの箱に戻す試行$\mathrm{T}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　試行$\mathrm{T}$を$1$回だけ行うとき，次の確率を求めなさい．

(ⅰ)　数字$5$が書かれたカードが取り出される確率

(ⅱ)　取り出された$4$枚のカードに書かれた数字の最小値が$5$である確率

(2)　試行$\mathrm{T}$を$2$回続けて行うとき，次の確率を求めなさい．

(ⅰ)　$1$回目の試行$\mathrm{T}$で数字$5$が書かれたカードが取り出され，$2$回目の試行$\mathrm{T}$で偶数が書かれたカードが取り出される確率

(ⅱ)　$1$回目の試行$\mathrm{T}$で取り出された$4$枚のカードに書かれた数字の最小値を$X\text{，}$$2$回目の試行$\mathrm{T}$で取り出された$4$枚のカードに書かれた数字の最大値を$Y$とするとき，$X>Y$となる確率

【２】　関数$f(x)=x\log 2x$$+(1-x)\log (2-2x)$$+2x^2-2x$$\text{（}0<x<1\text{）}$について，次の問いに答えなさい．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$を求めなさい．

(2)　$f(x)$の最小値を求めなさい．

【３】　$l\text{，}$$m\text{，}$$n$を正の実数とする．$\mathrm{BC}=l\text{，}$$\mathrm{CA}=m\text{，}$$\mathrm{AB}=n$である三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AI}$の延長と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{BI}$の延長と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}$を求めなさい．

(2)　$\mathrm{BI}:\mathrm{IE}$を求めなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{CI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表しなさい．

(4)　内心$\mathrm{I}$を基準とする$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$とするとき，

$l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

であることを証明しなさい．

【４】　座標平面上の曲線$y=\sin x$を$C_1\text{，}$曲線$y=\cos x$を$C_2$とする．さらに，$C_1$を$x$軸方向に${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$y$軸方向に$1$だけ平行移動した曲線を$C_3$とし，$C_2$を$x$軸方向に$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$y$軸方向に$1$だけ平行移動した曲線を$C_4$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$C_3\text{，}$$C_4$を表す式をそれぞれ求めなさい．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(ⅰ)　$C_1$と$C_2\text{，}$$C_2$と$C_3\text{，}$$C_3$と$C_4\text{，}$$C_4$と$C_1$の交点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$とする．${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$の座標をそれぞれ求めなさい．

(ⅲ)　$C_1$と$C_3$で囲まれた図形と，$C_2$と$C_4$で囲まれた図形の共通部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とする．等式

$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta$

を証明しなさい．

(2)　$x\text{，}$$y$を実数とする．

$\sin x+\sin y={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\text{，}$$\cos x+\cos y={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}$

のとき，$\tan {\displaystyle \frac{x+y}{2}}$の値を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x$を正の実数とする．$4^x+4^{-x}=4$のとき，$2^x-2^{-x}\text{，}$$4^x-4^{-x}$の値をそれぞれ求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$w$を実数とする．$2^x=3^y=5^z=7^w=210$のとき，

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{w}}$

の値を求めなさい．

【４】　座標平面上の曲線$y^2=x$を$C\text{，}$直線$y=x-6$を$l$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$と直線$l$の交点の座標をすべて求めなさい．

(2)　曲線$C$と直線$l$に囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

【１】　ある高校の生物部には男子$7$人，女子$6$人の合計$13$人の生徒が所属している．次の問いに答えなさい．

(1)　部員全員の中から部長$1$人と副部長$2$人を選ぶとき，その選び方は何通りあるか求めなさい．

(2)　部員全員を$5$人，$4$人，$4$人の$3$組に分ける方法は何通りあるか求めなさい．

(3)　部員全員のうち男子$3$人，女子$2$人が円形に並ぶとき，女子$2$人が隣り合うような並び方は何通りあるか求めなさい．

【２】　$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\alpha +\beta \text{，}$$\alpha \beta \text{，}$${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$n$を自然数とする．${\displaystyle \sum _{k=1}^n}({\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^k{\beta }^{k-1}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^{k-1}{\beta }^k}})$の値を求めなさい．