2023　徳島大学　前期MathJax

【１】　$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．$2$次方程式$x^2-2(\sin \theta +\cos \theta )x-\sqrt{3}\cos 2\theta =0$について，次の問いに答えよ．

(1)　この方程式の判別式$D$を$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を用いて表せ．

(2)　この方程式が実数解をもつとき，定数$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　この方程式の解がすべて正の実数であるとき，定数$\theta$の値の範囲を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の立方体$V$がある．$V$の異なる$4$つの頂点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$が$V$の辺になるように定め，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たす頂点を$\mathrm{D}$とする．また，線分$\mathrm{AD}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{EF}}\right|$の値を求めよ．

(3)　立方体$V$のすべての頂点を通る球面と直線$\mathrm{OE}$との交点のうち，$\mathrm{O}$でない交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-x-1}{x^2+2x+2}}$とする．

(1)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$n$を$1$以上の整数とする．$1$枚のコインを$n$回投げ，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を次のように定める．$a_0=1$として，$k$回目$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$にコインを投げたときに表が出たら$a_k=2a_{k-1}$とし，裏が出たら$a_k=a_{k-1}+1$とする．$n$回投げ終えたときに，$a_n$を$3$で割った余りが$1$となる確率を$p_n\text{，}$$a_n$を$3$で割った余りが$2$となる確率を$q_n$とする．

(1)　$p_1\text{，}$$q_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$および$q_{n+1}$を$p_n$または$q_n$を用いて表せ．

(3)　(1)と(2)で定まる数列$\{p_n\}$および$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(i)\text{，}$$\mathrm{C}(-1)$とする．$\mathrm{AC}$を直径として点$\mathrm{B}$を含む半円を考える．弧$\mathrm{AC}$を$n$等分する分点を点$\mathrm{A}$に近い方から順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}$とし，$\mathrm{A}={\mathrm{P}}_0\text{，}$$\mathrm{C}={\mathrm{P}}_n$とおく．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積が${\displaystyle \frac{1}{4}}$になるとき，点${\mathrm{P}}_1$を表す複素数$\alpha$および点${\mathrm{P}}_2$を表す複素数$\beta$を求めよ．

(2)　$0<k<n$に対して，$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k\leqq \mathrm{C}{\mathrm{P}}_k$を満たす$\mathrm{▵}\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k\mathrm{C}$の$2$辺の長さの和$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k+\mathrm{C}{\mathrm{P}}_k$が$\sqrt{6}$になるとき，${\displaystyle \frac{k}{n}}$の値を求めよ．

(3)　$0<k<n$に対して，$\mathrm{▵}\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k\mathrm{C}$の面積を$S_k$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1+S_2+\cdots +S_{n-1}}{n}}$を求めよ．

(4)　点$\mathrm{B}$を原点$\mathrm{O}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を表す複素数を$z$とする．$z$の$2023$乗を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は次を満たす．

$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{a_n}}+a_{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，$1<a_n<n$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n+1}=\infty$を示せ．

【４】　$0$以上の整数の組$(x,y)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$3x+7y=34$を満たす組$(x,y)$をすべて求めよ．

(2)　$3x+7y=n$を満たす組$(x,y)$をもたない$0$以上の整数$n$の個数を求めよ．また，そのような$n$の中で最大の整数を求めよ．

(3)　$a$を$3$で割った余りが$1$である自然数とする．$a>1$のとき，$3x+ay=n$を満たす組$(x,y)$をもたない$0$以上の整数$n$の個数を$a$を用いて表せ．また，そのような$n$の中で最大の整数を$a$を用いて表せ．