2023　徳島大学　後期理工学部MathJax

【１】　$f(x)=(x^2-1)e^{-x}$として，曲線$y=f(x)$上の点$(1,0)$における接線を$l$とする．このとき，曲線$y=f(x)$と接線$l$の共有点は$2$個である．$2$個の共有点の中で点$(1,0)$とは異なる点を$(t,f(t))$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-x}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }(x^2-1)e^{-x}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$t<0$であることを示し，曲線$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$と接線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2<e<3$であることを利用してもよい．

【２】　連立不等式

$x+2y\leqq 18\text{，}$$2x+y\leqq 12\text{，}$$4x+y\leqq 20\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

の表す座標平面上の領域を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を座標平面上に図示せよ．

(2)　$3x+y$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(3)　$a$を正の実数とするとき，$ax+y$の最大値を求めよ．

(4)　$xy$の最大値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【３】　次で定められた数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=9a_n-4S_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$S_n$は数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和である．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(2)　$b_n=a_{n+1}-3a_n$で定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}$で定まる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$S_n$を求めよ．