2023　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　実数$a$を定数とします．$x\text{，}$$y$についての連立方程式

$\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ ax-y=4a-1\end{array}$

が$x>0$かつ$y>0$である解をもつとき，$a$の値の範囲を求めなさい．

【２】　実数全体を定義域とする関数

$f(x)=a{x}^2+bx+c\text{，}$$g(x)=x^2+4x+3$

に関して次の問いに答えなさい．ただし，実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数とします．

(1)「方程式$f(x)=0$の実数解」の定義を述べなさい．

(2)　$a=c=1$とします．命題

「実数$b$が$b^2\geqq 4$を満たすならば方程式$f(x)=0$は$x<-3$の範囲に少なくとも$1$つの実数解をもつ」

の真偽を調べ，真であるならその証明を行い，偽であるなら反例をあげなさい．

(3)　$a>0\text{，}$$c={\displaystyle \frac{b}{2}}>0$とします．実数全体の集合を全体集合とし，部分集合$A=\{x|f(x)<0\}\text{，}$$B=\left\{x\right|g(x)<0\}$を考えます．$x<-3$の範囲に方程式$f(x)=0$の実数解が存在しないとします．命題

$\text{「}f(-1)f(-3)>0$$⟹A\subset B\text{」}$

が真であることを証明しなさい．

【３】　$3$辺の長さがいずれも整数値であるような直角三角形について，次の問いに答えなさい．

(1)　$3$辺の長さはすべて異なることを証明しなさい．

(2)　$1$番短い辺の長さと$2$番目に短い辺の長さのうち，少なくとも一方は偶数であることを証明しなさい．

(3)　$1$番短い辺の長さが$5$であるとき，残りの$2$辺の長さの組をすべて求めなさい．

【４】　$N\text{，}$$n$を整数とし，$N\geqq 2\text{，}$$n\geqq 3$とします．$N$個の整数$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$N$の中から$1$つ選ぶ試行を$2n$回行い，選んだ整数を順に$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_n\text{，}$$y_1\text{，}\cdots \text{，}$$y_n$とおくことで，変量$x\text{，}$$y$を定めます．各試行において，$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$N$のうち，どの数が選ばれることも同様に確からしいものとします．$n$個のデータの組$(x_i,y_i)$$\text{（}1\leqq i\leqq n\text{）}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$x_1=\cdots =x_{n-1}=1\text{，}$$x_n=2\text{，}$$y_1=2\text{，}$$y_2=\cdots =y_n=1$のとき，$x$の標準偏差，$y$の標準偏差，$x$と$y$の共分散をそれぞれ求めなさい．

(2)　$x$の標準偏差と$y$の標準偏差のうち少なくとも一方が$0$となる確率を求めなさい．

(3)$\text{「}x$と$y$の相関係数が定まり，かつ，その値が$1$である確率」は${\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{2N^{n-1}-1}{N^{2n-2}}})$より小さいことを証明しなさい．

【５】　平面上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と円$\mathrm{O}$があり，全て平面上に固定されているとします．ただし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は円$\mathrm{O}$の外部にあるとします．点$\mathrm{A}$を通り円$\mathrm{O}$と$2$点で交わるように直線$l$を引き，この$2$つの交点を$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とします．ここで，直線$l$は点$\mathrm{B}$を通らないものとします．また，点$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$の接線の$1$つと円$\mathrm{O}$との接点を$\mathrm{T}$とします．次の問いに答えなさい．

(1)　直線$l$の引き方によらず，$\mathrm{AM}\cdot \mathrm{AN}$が一定であることを証明しなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$を通る円を${\mathrm{O}}^{\prime }$とします．$\mathrm{AT}\ne \mathrm{AB}$ならば，円${\mathrm{O}}^{\prime }$と直線$\mathrm{AB}$が$2$点で交わることを証明しなさい．

(3)　$\mathrm{AT}\ne \mathrm{AB}$のとき，円${\mathrm{O}}^{\prime }$と直線$\mathrm{AB}$の交点のうち，点$\mathrm{B}$でないものを点$\mathrm{C}$とします．直線$l$の引き方によらず線分$\mathrm{AC}$の長さが一定であることを証明しなさい．