2023　香川大学　前期MathJax

【１】　赤球$2$個と白球$4$個が入っている袋$\mathrm{A}$と，赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋$\mathrm{B}$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)　袋$\mathrm{A}\text{，}$袋$\mathrm{B}$それぞれから球を$1$個ずつ取り出すとき，取り出した$2$個の球の色が異なる確率を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{A}\text{，}$袋$\mathrm{B}$それぞれから球を$2$個ずつ取り出すとき，取り出した$4$個の球の色がすべて同じである確率を求めよ．

(3)　袋$\mathrm{A}$から$2$個の球を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜて，袋$\mathrm{B}$から$2$個の球を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$の白球の個数が$4$個になる確率を求めよ．

【２】　半径$1$の円に内接する$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle B}=\beta \text{，}$$\mathrm{\angle C}=\gamma$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta \text{，}$$\sin \gamma$を用いて表せ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$S$がとりうる最大の値を求めよ．

(3)　$\alpha =\beta$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径$r$がとりうる最大の値を求めよ．

【３】　$x\text{，}$$y$は$1$でない正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\log }_{x}y>0$を満たす点$(x,y)$の範囲を座標平面に図示せよ．

(2)　${\log }_{x}y+3{\log }_{y}x-4<0$を満たす点$(x,y)$の範囲を座標平面に図示せよ．

【４】　$-1<x<1$を定義域とする関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$について，次の問に答えよ．

(1)　原点から曲線$C\text{：}y=f(x)$に引いた$2$本の接線それぞれの方程式を求めよ．

(2)　$C$と(1)の$2$本の接線で囲まれてできる図形$D$の面積を求めよ．

(3)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　$a$を実数の定数とする．関数$f(x)=x^3+3x^2-6ax$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が極値をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$において$f(x)$が極小となるような$a$の値を求めよ．

(3)　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．

【１】　各項が正の実数である数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_{n+1}^2-a_n{a}_{n+2}=2^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$が成り立つことを示せ．

(2)　$a_{n+2}+\beta a_{n+1}=a_{n+1}+\beta a_n$がすべての自然数$n$に対して成り立つような実数$\beta$の値を求めよ．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　座標平面において$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$m$を$1$より大きい実数とする．$\mathrm{OP}=m\mathrm{AP}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は円となる．その円$C_1$の中心の座標と半径を$m$を用いて表せ．

(2)　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲の実数とする．$\mathrm{\angle OQA}=\theta$を満たす点$\mathrm{Q}$の軌跡は$2$つの円の一部となる．それらの円のうち，中心の$y$座標が正であるものを$C_2$とする．$C_2$の中心の座標と半径を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$C_1$と$C_2$の交点のうち，$y$座標が正であるものを$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵OAR}$の面積を$m$と$\theta$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{R}$の座標を$m$と$\theta$を用いて表せ．

【４】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$上の異なる$2$点

$\mathrm{P}$$(a\cos \theta ,b\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(a\cos {\theta }^{\prime },b\sin {\theta }^{\prime })$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<{\theta }^{\prime }<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．ただし$a>b>0$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における楕円の法線をそれぞれ$l\text{，}$$l^{\prime }$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$l$と$l^{\prime }$の交点の$x$座標を$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta \text{，}$${\theta }^{\prime }$を用いて表せ．

(3)　${\theta }^{\prime }=\theta +h$$\text{（}h\ne 0\text{）}$とする．$h\to 0$のとき，(2)の交点はある点$\mathrm{R}$に限りなく近づくという．$\mathrm{R}$の座標を$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(4)　$a=2\text{，}$$b=1$とする．$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線の長さを求めよ．