2023　愛媛大学　後期MathJax

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　$a_0={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{2x}\mathit{dx}\text{，}$$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{2x}\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，$a_0=\text{ア}$であり，$2a_n+n{a}_{n-1}=\text{イ}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　関数$f(x)=\sqrt{x}$を考える．曲線$y=f(x)$上の$3$点$\mathrm{A}$$(1,f(1))\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,f(4))\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,f(t))$$\text{（}1<t<4\text{）}$について，直線$\mathrm{AB}$の傾きは$\text{ウ}$であり，$\mathrm{▵ABP}$の面積が最大となるとき，$t=\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　$a\text{，}$$b$を正の実数とする．関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+2e^{ax}& \text{（}x<0\text{）}\\ \sin {\displaystyle \frac{x}{a}}+b& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

が$x=0$で微分可能であるとき，$a=\text{オ}\text{，}$$b=\text{カ}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　$t$を媒介変数として$x=e^{-t}\cos t\text{，}$$y=e^{-t}\sin t$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$で表される曲線$C$について，$t=\pi$に対応する点における接線の傾きは$\text{キ}$であり，$C$の長さは$\text{ク}$である．

【１】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　$1$から$7$までの番号が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードの中から$1$枚のカードを引き，書かれた番号を調べてもとに戻す．この試行を$3$回繰り返し，$1$回目，$2$回目，$3$回目に引いたカードの番号を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．このとき，$a<b<c$となる確率は$\text{ケ}$であり，$a\leqq b\leqq c$となる確率は$\text{コ}$である．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{BA}\text{，}$$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とおくとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$n$を整数とし，$z$を$0$でない複素数とする．$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$が実数であるとき，$z^n+{\displaystyle \frac{1}{z^n}}$が実数であることを示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)=-2\sqrt{3}x+2\sin 2x+1$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を考える．

(ⅰ)　$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　$k$を実数とする．$0\leqq x\leqq \pi$において方程式$f(x)=k$が異なる$2$つの実数解をもつとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

【３】　$t$を$0<t<4$を満たす実数とする．座標平面上において，中心が点$\mathrm{T}$$(1,t)\text{，}$半径が$1$の円を$C$とする．$2$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,4)$から$C$に引いた接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とおく．ただし，$l\text{，}$$m$は$y$軸ではないとする．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$C$の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　$l$の方程式を$t$を用いて表せ．

(3)　$m$の方程式を$t$を用いて表せ．

(4)　$l$と$m$が交点を持ち，その交点の$x$座標が正であるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(5)　$t$の値が(4)の範囲にあるとき，$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおく．$\mathrm{▵OAP}$の面積の最小値を求めよ．