2023　高知大学　前期MathJax

【１】　$n$を正の偶数とし，$f(x)=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}$とする．さらに，$g(x)=f(x)e^{-x}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$x<0$のとき，$g(x)>1$であることを示せ．

(3)　方程式$f(x)=0$は実数解をもたないことを示せ．

【２】　集合$A$を次で定義する．

$A=\{m^2-n^2|m\text{と}n\text{は整数}\}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$7$は$A$の要素であることを証明せよ．

(2)　$6$は$A$の要素ではないことを証明せよ．

(3)　奇数全体の集合は$A$の部分集合であることを証明せよ．

(4)　偶数$a$が$A$の要素であるための必要十分条件は，ある整数$k$を用いて$a=4k$とかけることであることを証明せよ．

【３】　$d\text{，}$$r$は実数で，$r>0$とする．数列$\{a_n\}$は$a_1=2$で公差が$d$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は$b_1=4$で公比が$r$の等比数列とする．さらに，数列$\{c_n\}$を

$c_n=\{\begin{array}{ll}{a}_n& \text{（}{a}_n\geqq b_n\text{のとき）}\\ b_n& \text{（}{a}_n<b_n\text{のとき）}\end{array}$

によって定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c_3=c_4=3$となるような$d\text{，}$$r$を求めよ．

(2)　$d=-{\displaystyle \frac{1}{64}}\text{，}$$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$c_n=a_n$を満たす最大の$n$を求めよ．

(3)　$d=9\text{，}$$r=2$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して

$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x\text{，}$

$\cos 3x=-3\cos x+4{\cos }^{3}x$

が成り立つことを，加法定理と$2$倍角の公式を用いて示せ．

(2)　実数$\theta$を，${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$と$\cos 3\theta =-{\displaystyle \frac{11}{16}}$を同時に満たすものとする．このとき，$\cos \theta$を求めよ．

(3)　(2)の$\theta$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\theta }}{\sin }^{3}x\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　$x\text{，}$$y$は正の実数で$x\ne 1\text{，}$$y\ne 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{x}y>0$であるための，$x$と$y$に関する必要十分条件を求めよ．

(2)　次の不等式の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

${\log }_{x}y-2{\log }_{y}x>1$

【２】　実数$x\text{，}$$y$が$x^2-xy+y^2-1=0$を満たすとする．また，$t=x+y$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$xy$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$のとる値の範囲を求めよ．

(3)　$3x^{2}y+3x{y}^2+x^2+y^2$$+5xy-6x-6y+1$のとる値の範囲を求めよ．

【３】　$y=x^3-x^2-2x+1$で表される曲線を$C\text{，}$$y=-x+k$で表される直線を$l$とする．ただし$k$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k=1$のとき，曲線$C$と直線$l$は$3$個の共有点をもつ．これらの共有点の$x$座標のうち，最も小さい値を$\alpha$とし，最も大きい値を$\beta$とする．このとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$と${\alpha }^3+{\beta }^3$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$が$2$個以上の相異なる共有点をもつように，$k$の値の範囲を定めよ．

(3)　$k$の値を(2)で定めた範囲で動かすとき，曲線$C$と直線$l$で囲まれる部分は変化する．右の図はある$4$つの$k$のそれぞれの値に対して，囲まれる部分を斜線で示している．この様子を観察していた生徒が次の命題が成り立つと予想した．

$\text{「}k$は(2)で定めた範囲内にあるとする．このとき，曲線$C$と直線$l$で囲まれる部分の面積は，$k$の値によらず一定である．」

　この命題の真偽を理由を付けて判定せよ．

【４】　$p>1$とし，$f(x)=x^2-p$とおく．このとき．次の問いに答えよ．

(1)　点$(a,f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を次の(ⅰ)，(ⅱ)によって定める．

(ⅰ)　$a_1=p$とする．

(ⅱ)　$n\geqq 2$のとき，点$(a_{n-1},f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸の交点の$x$座標を$a_n$とする．

このとき，すべての自然数$n$について，$a_n>0$が成り立つことを示せ．

(3)　$\{a_n\}$を(2)で定めた数列とする．このとき，すべての自然数$n$について，$a_n>\sqrt{p}$が成り立つことを示せ．

(4)　$\{a_n\}$を(2)で定めた数列とする．このとき，すべての自然数$n$について，

$a_{n+1}-\sqrt{p}<{\displaystyle \frac{{(a_n-\sqrt{p})}^2}{2}}$

が成り立つことを示せ．