2023　福岡教育大学　後期MathJax

(問１)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(問２)　$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(問３)　$3$点$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$が一直線上にあることを示せ．

$f(x+y)=f(x)f(y)$

が成り立っている．次の問いに答えよ．

(問１)　$x$を実数とするとき，$f\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=\sqrt{f(x)}$が成り立つことを示せ．

(問２)　$k$を自然数とする．初項$1\text{，}$公差$2$の等差数列$\{a_n\}$の第$2^k+1$項から第$2^{k+1}$項までの和

$S=a_{2^k+1}+a_{2^k+2}+a_{2^k+3}+\cdots +a_{2^{k+1}}$

を求めよ．

(問３)　$n$を自然数とする．$2^n$個の実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}\cdots \text{，}$$x_{2^n}$に対して

$f\left({\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_{2^n})}{2^n}}\right)$$\leqq {\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+\cdots +f(x_{2^n})}{2^n}}$

が成り立つことを，$n$に関する数学的帰納法によって示せ．

(問１)　$I_0$および$I_1$の値を求めよ．

(問２)　$n$を$0$以上の整数とするとき，

$I_n+I_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$

が成り立つことを示せ．

(問３)　無限級数

$1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}+{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{11}}+\cdots }$

の和を求めよ．