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2023 九州大学 前期
理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)
配点50点
易□ 並□ 難□
2023 九州大学 前期
理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)
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易□ 並□ 難□
2023 九州大学 前期
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易□ 並□ 難□
2023 九州大学 前期
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文系【3】の類題
易□ 並□ 難□
2023 九州大学 前期
理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)
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易□ 並□ 難□
三角関数については加法定理が成立するが,逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか.実数全体を定義域とする実数値関数が以下の条件を満たすとする.
(A) すべてのについて
(B) すべてのについて
(C)
(D) はで微分可能で
条件(A),(B),(C)からがわかる.以上のことからはすべてのの値で微分可能で,が成立することが示される.上のことからであることが,実部と虚部を調べることによりわかる.ただしは虚数単位である.よって条件(A),(B),(C),(D)を満たす関数は三角関数であることが示される.
さらに,を実数でとする.このとき条件(D)をより一般的な
はで微分可能で
におきかえて,条件(A),(B),(C),を満たすはどのような関数になるか考えてみる.この場合でも,条件(A),(B),(C)からが上と同様にわかる.ここで
とおくと,条件(A),(B),(C),(D)において,をに,をにおきかえた条件が満たされる.すると前半の議論により,がまず求まり,このことを用いるとが得られる.
(1) 下線部について,となることを示せ.
(2) 下線部について,がすべてのの値で微分可能な関数であり,となることを示せ.
(3) 下線部について,下線部,下線部の事実を用いることにより,となることを示せ.
(4) 下線部について,条件(B),(D)において,をに,をにおきかえた条件が満たされることを示せ.つまりとが,
(B) すべてのについて
(D) はで微分可能で
を満たすことを示せ.また空欄に入る関数を求めよ.
2023 九州大学 前期
理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)
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易□ 並□ 難□
【4】 をの虚数解のうち虚部が正であるものとする.さいころを繰り返し投げて,次の規則でつの複素数を並べていくことにより,複素数の列を定める.
・とする.
・まで定まったとき,さいころを投げて,出た目をとする.このときを以下のように定める.
∘のとき,とする.
∘のとき,とする.
∘のとき,とする.
∘のとき,とする.
∘のとき,とする.
∘のとき,とする.
ここで複素数に対し,はと共役な複素数を表す.以下の問いに答えよ.
(1) となることを示せ.
(2) となる確率をの式で表せ.
(3) となる確率をそれぞれ求めよ.
(4) となる確率をの式で表せ.