2023　九州大学　後期MathJax

【１】　$x\geqq 0$で定義される$2$つの曲線$y=x^a$と$y=e^{bx}$が点$\mathrm{P}$において接している．$a\text{，}$$b$は正の実数とし，$a\leqq e$である．$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$a$のみを用いて表せ．また，点$\mathrm{P}$が取り得る範囲を$xy$平面に図示せよ．

(2)　$y=e^{bx}$が$y=\sqrt{2x}$と点$\mathrm{Q}$において接している．このとき，$a$の値と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値のとき，$y=x^a$と$y=e^{bx}$と$y=\sqrt{2x}$に囲まれた領域の面積$S$を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$3$回投げるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　出る目すべての和が$5$になる確率を求めよ．

(2)　出る目の最小値が$4$になる確率を求めよ．

(3)　出る目すべての積が$6$の倍数になる確率を求めよ．

(4)　出る目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$x$についての$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が重解を持つ確率を求よ．

【４】　座標平面上の点$\mathrm{A}$$(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,b)\text{，}$$\mathrm{C}$$(c,d)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$を考える．ただし$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は正の実数とし，三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{\angle ACB}$が直角で$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$がなす角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$とする．このとき$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$の値を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心と三角形$\mathrm{ABO}$の内接円の中心との距離$s$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．また，正の定数$l$に対して，常に$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=l$となるように点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をそれぞれ動かしたとき，$s$を最小にする$a$を$l$を用いて表せ．

【５】　$n$を$3$以上の自然数，$i$を虚数単位として，複素数$z_k$は以下の式を満たすとする．

$z_k=\cos ({\displaystyle \frac{2\pi }{n}}k)+i\sin ({\displaystyle \frac{2\pi }{n}}k)$$\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

また，$n$以下の自然数$l$に対して，複素数平面上の点${\mathrm{P}}_l(a_l)$があり，複素数$a_l$は次の式を満たすとする．

$a_l=z_0+z_1+z_2+\cdots +z_{l-1}$

以下の問いに答えよ．

(1)　$a_l={\displaystyle \frac{z_l-1}{z_1-1}}$となることを示せ．

(2)　$l\geqq 3$のとき三角形${\mathrm{P}}_l{\mathrm{P}}_{l-1}{\mathrm{P}}_{l-2}$の面積を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$を頂点とする$n$角形に外接する円の方程式と$n$角形の面積を求めよ．