2023　九州工業大学　前期MathJax

(ⅰ)　接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$a$をすべて求めよ．

(ⅲ)　原点を通り接線$l$に平行な直線を$m$とする．曲線$C$と直線$m$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$f_1(x)=x\text{，}$$f_2(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-2)(x+1)}}\text{，}$$f_3(x)=\cos (\pi x)\text{，}$

$f_4(x)=x{e}^x\text{，}$$f_5(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}}\text{，}$$f_6(x)=\sin (\pi x)$

次に答えよ．

(ⅰ)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$について，$f_n^{\prime }(0)$および${\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$を求めよ．

　以下では，(ⅰ)で得られた値が$1$つずつ書かれた$12$枚のカードから$1$枚を抜き出し，値を調べてからもとに戻すことを$3$回繰り返す．$1$回目，$2$回目，$3$回目に調べた値をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(ⅱ)　$ab=0$となる確率を求めよ．

(ⅲ)　$ab=c$となる確率を求めよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AB}$の長さおよび内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(ⅱ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$および三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{OH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$および$\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　(ⅲ)の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{OH}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(ⅴ)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$V$を$\theta$を用いて表せ．また，$\theta$が変化するとき，$V$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

(ⅰ)　複素数$z$について，方程式${\displaystyle \frac{z-1}{z}}=z$を解け．

(ⅱ)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は$ad-bc=1$をみたしている．等式

$\mathrm{Im}\left({\displaystyle \frac{az+b}{cz+d}}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{Im}(z)}{{|cz+d|}^2}}$$\text{（}cz+d\ne 0\text{）}$

が成り立つことを示せ．

　以下では，複素数$z$について，

条件$\mathrm{P}\text{：}\left|z\right|=1\text{，}$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<\mathrm{Re}(z)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$

を考える．

(ⅲ)　ある整数$m\text{，}$$n$について，$|mz+n|=1$と条件$\mathrm{P}$をみたす複素数$z$が存在する．このとき，$m\text{，}$$n$の組をすべて求めよ．

(ⅳ)　$ad-bc=1\text{，}$$b<0$をみたすある整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$について，${\displaystyle \frac{az+b}{cz+d}}=z$と条件$\mathrm{P}$をみたす複素数$z$が存在する．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組をすべて求めよ．