2023　九州工業大学　後期MathJax

(ⅰ)　関数$f(x)$についての増減表を利用して，方程式$x^3-3a{x}^2+b=0$の異なる実数解の個数が$2$個以下となるための条件を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{Q}$の座標を求め，曲線$C$と線分${\mathrm{P}}_1\mathrm{Q}$で囲まれる図形の面積$S_1$および曲線$C$と線分$\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_2$で囲まれる図形の面積$S_2$を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$と$x$軸の共有点が$2$つである場合を考える．曲線$C$と$x<0$における$x$軸との共有点を${\mathrm{P}}_3$とし，線分${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_1$と線分${\mathrm{P}}_3\mathrm{Q}$および曲線$C$で囲まれる図形の面積を$S_3$とする．このとき，$b$を$a$を用いて表し，さらに，$S_3=13$が成り立つ場合の$a$の値を求めよ．

(ⅳ)　曲線$C$と$x$軸の共有点が$1$つである場合を考える．直線$l$と$x$軸との交点を${\mathrm{P}}_4$とし，線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$と線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$および曲線$C$で囲まれる図形の面積を$S_4\text{，}$三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_4$の面積を$S_3$とする．このとき，$S_4=S_5$かつ$S_4=2$が成り立つ場合の$a$と$b$の値を求めよ．

【２】　右図のような三角形$\mathrm{XYZ}$があり，$3$地点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$を移動する人がいる．はじめ，この人は地点$\mathrm{X}$にいるものとする．

　この人は，自分のいる地点で，大きいサイコロと小さいサイコロを振り，$2$つのサイコロの目の出方に従って次のように行動する．

・$2$つのサイコロの目が同じ場合は移動せず同じ地点にとどまる．

・$2$つのサイコロの目が異なる場合は大きいサイコロの出た目の数だけ反時計回りに地点を移動する．

　この試行を回繰り返した後に，地点$\mathrm{X}$にいる確率を$x_n\text{，}$同様に，地点$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$にいる確率をそれぞれ$y_n\text{，}$$z_n$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$z_1$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$x_{n+1}$を$x_n\text{，}$$y_n\text{，}$$z_n$を用いて表せ．同様に，$y_{n+1}\text{，}$$z_{n+1}$を$x_n\text{，}$$y_n\text{，}$$z_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$x_n\text{，}$$y_n\text{，}$$z_n$をそれぞれ求めよ．

(ⅳ)　$n+1$回目の試行後に地点$\mathrm{X}$にいるという条件のもとで，$n$回目の試行後に地点$\mathrm{Y}$にいた確率を求めよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$と$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)$を求めよ．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$であることを利用してもよい．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．また，$f(x)$の最小値を求めよ．

(ⅲ)　直線$x={\displaystyle \frac{3}{4}}$と直線$y=0$および曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

　数列$\{p_n\}$は$0<p_n<1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$をみたす数列であり，数列$\{a_n\}$の一般項を

$a_n={(2p_n)}^{-n{p}_n}{(2-2p_n)}^{-n(1-p_n)}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(ⅳ)　$\log a_n$を$n$と$f(p_n)$を用いて表せ．

(ⅴ)　数列$\{p_n\}$は収束し，その極限値$p$は${\displaystyle \frac{1}{2}}$ではないとする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{B}$$(3,0,0)$と点$\mathrm{C}$$(-9,6,-1)$について，直線$l$と直線$\mathrm{BC}$が交わるかどうかを調べ，交わる場合は交点の座標を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$上に点$\mathrm{P}$をとり，その$x$座標を$2t$とする．点$\mathrm{P}$を通り，$\overrightarrow{e}$に垂直な平面を$\alpha$とする．また，直線$m$と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離$L$を$t$と$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　直線$l$と直線$m$の距離$d$を$\theta$を用いて表せ．ここで，$2$直線間の距離とは，それぞれの直線上に点をとり，それら$2$点間の距離を考えるとき，そのような距離の中の最小値のことである．

(ⅳ)　直線$l$と直線$m$が交わるときの$\theta$の値を求めよ．