2023　長崎大学　前期MathJax

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$x$の$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2+ax+1$がある．曲線$y=f(x)$上における接線の傾きの最小値が$-12$になるとき，定数$a$の値を求めよ．また，$f(x)$の極値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の$3$辺の長さは，それぞれ$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BO}=3$である．頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表し，線分$\mathrm{GH}$の長さを求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$a$を定数とするとき，不等式

${\log }_{a}5x-{\log }_a(4-x)\geqq {\log }_a(x+1)$

を解け．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　整式$f(x)$が，すべての実数$x$に対して

$(f^{\prime }(x)-5)f^{\prime }(x)=3f(x)+x^2-7x-12$

を満たすものとする．$f(x)$の次数を$n$とするとき，$n$は$3$以上にならないことを示し，$f(x)$を求めよ．ただし，$f(x)$の係数はすべて整数とする．

【２】　$xy$座標平面上に，放物線$C\text{：}y={(x-3)}^2$と直線$l\text{：}y=2x+9$があり，$C$と$l$で囲まれた領域の周および内部を図形$F$とする．以下の問いに答えよ．

　ただし，格子点とは，$x$座標，$y$座標がともに整数になる点をいう．

(1)　$C$と$l$の$2$つの交点の$x$座標を$p\text{，}$$q$$\text{（}p<q\text{）}$とするとき，$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．また，図形$F$に含まれる格子点のうち，$x$座標が$k$$\text{（}p\leqq k\leqq q\text{，}$$k$は整数）である格子点の個数$a_k$を$k$の式で表せ．さらに，図形$F$に含まれる格子点の総数$N$を求めよ．

(2)　図形$F$に含まれる格子点を$\mathrm{Q}$$(x,y)$とするとき，$x+y$の最大値と最小値，およびそのときの$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　図形$F$に含まれる$4$つの格子点を結んでできる$1$辺の長さが$1$の正方形のうち，頂点の$x$座標が$k$および$k+1$$\text{（}k$は整数）である正方形の個数を$b_k$とする．$b_k\geqq 1$となる$k$の値の範囲を求め，$b_k$を$k$の式で表せ．

(4)　図形$F$に含まれる$4$つの格子点を結んでできる$1$辺の長さが$1$の正方形の面積の総和$T$を求めよ．また，図形$F$の面積を$S$とするとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$の値を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　次のように，項数$m$の$2$つの等差数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．

$\{a_n\}$　$1,2,3,4,\cdots ,m-2,m-1,m$

$\{b_n\}$　$m,m-1,m-2,\cdots ,4,3,2,1$

数列$\{c_n\}$の一般項を$c_n=a_n{b}_n$とするとき，$c_n$の最大値，および${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{c}_k$をそれぞれ$m$の式で表せ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$x>0$のとき，不等式

$\log (1+x)<x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$

が成り立つことを証明せよ．ただし，対数は自然対数とする．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　$a\text{，}$$b$を定数とする．すべての実数$x$で連続な関数$f(x)$について，等式

${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_a^b}f(a+b-x)\mathit{dx}$

が成り立つことを証明せよ．また，定積分${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2+{(3-x)}^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

【５】　下図のように，$xy$座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上の動点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$と$x$軸上の動点$\mathrm{Q}$$(x,0)$$\text{（}x>0\text{）}$がある．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$間の距離は$a$$\text{（}a>1\text{）}$で一定とし，定点$\mathrm{A}$$(a+1,0)$と動点$\mathrm{Q}$$(x,0)$の$2$点間の距離を$f(\theta )$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，(1)は答えのみでよい．

(1)　$f(0)\text{，}$$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\text{，}$$f(\pi )$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$f(\theta )$を$a\text{，}$$\theta$を用いて表し，$f(\theta )$の導関数$f^{\prime }(\theta )$を求め，$f(\theta )$の増減を調べよ．

(4)　極限値$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(\theta )}{{\theta }^2}}$を求めよ．

【６】　はじめに，図１のように$xy$座標平面上に$4$点$\mathrm{P}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(2,0)\text{，}$$\mathrm{R}$$(2,2)\text{，}$$\mathrm{S}$$(0,2)$を頂点とする一辺の長さが$2$の正方形$\mathrm{PQRS}$がある．この正方形を，図２のように反時計周りに移動させる．ただし，$\mathrm{P}$が$x$軸上を点$(0,0)$から点$(2,0)$に毎秒$1$の速さで正の方向に動くと同時に，$\mathrm{S}$は$y$軸上を点$(0,2)$から点$(0,0)$に動くものとする．この移動で，$2$秒後には図３のような状態になる．

　この移動を繰り返すことによって，正方形は$8$秒後には図１の状態に戻る．以下の問いに答えよ．ただし，(1)は答えのみでよい．

(1)　正方形が移動をはじめてから$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\text{）}$秒後における$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の座標を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　正方形が移動をはじめてから$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\text{）}$秒後における点$\mathrm{Q}$$(x,y)$の速度$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$を求めよ．また，$t=\sqrt{2}$のときの$\mathrm{Q}$の速さを求めよ．

(3)　正方形が移動をはじめてから$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\text{）}$秒後における点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$f(t)$とする．$f(t)$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(4)　正方形の対角線の交点を$\mathrm{D}$$(x,y)$とする．正方形が移動をはじめてから$8$秒間における点$\mathrm{D}$は，どのような図形上にあるか説明せよ．

(5)　正方形が移動をはじめてから$8$秒間における点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．$C$で囲まれる図形の面積$T$を求めよ．

【７】　複素数平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$があり，$2$点$\mathrm{A}(z_1)\text{，}$$\mathrm{B}(z_2)$は，円$C$の周上にある．$z_1=\cos \alpha +i\sin \alpha \text{，}$$z_2=\cos \beta +i\sin \beta \text{，}$$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <\pi$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$z_1$と$z_2$の積$z_1{z}_2$および和$z_1+z_2$を，それぞれ極形式で表せ．

(2)　$w={\displaystyle \frac{2z_1{z}_2}{z_1+z_2}}$で表される点を$\mathrm{P}(w)$とするとき，$w$を極形式で表せ．また，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{P}(w)\text{，}$点$\mathrm{D}(z_1+z_2)$の$3$点は，同一直線上にあることを示せ．

(3)　直線$\mathrm{AP}$は，円$C$の接線であることを示せ．

(4)　直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}(v)$とする．点$\mathrm{Q}$が円$C$の周上にあるとき，$\beta$を$\alpha$の式で表せ．

【９】　ある日の朝，ある養鶏場で無作為に$9$個の卵を抽出して，それぞれの卵の重さを測ったところ，表１の結果が得られた．

　この養鶏場の卵の重さは，母平均が$m\text{，}$母分散が${\sigma }^2$の正規分布に従うものとするとき，以下の問いに答えよ．必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　表１の標本の平均を求めよ．

(2)　表１の標本の分散と標準偏差を求めよ．

(3)　母分散${\sigma }^2=25$であるとき，表１の標本から，母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を，小数点第$3$位を四捨五入して求めよ．

(4)　この養鶏場のすべての卵の重さからそれぞれ$10\mathrm{g}$を引いて，$50\mathrm{g}$で割った数値は，母平均$m_1\text{，}$母分散${{\sigma }_1}^2$の正規分布に従う．このとき，$m_1$と${{\sigma }_1}^2$をそれぞれ$m$と$\sigma$の式で表せ．また，${\sigma }^2=25$であるとき，表１の標本から，$m_1$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を，小数点第$3$位を四捨五入して求めよ．

(5)　次の日の朝に，$n$個の卵を無作為に抽出して，母平均$m$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めることとする．信頼区間の幅が$5$以下となるための標本の大きさ$n$の最小値を求めよ．ただし，母分散${\sigma }^2=25$であるとする．

教育(小学,幼児,特別支援,中学(実技系)教育コース),経済,環境科,水産学部　【１】,【２】

教育(中学(理系)教育コース),薬,歯,工学部　【３】,【４】(【２】と同一),【５】,【６】

医学部　【３】,【４】,【６】,【７】

情報データ科学部　【３】,【４】(【２】と同一),【５】必須,【８】(【６】と同一),【９】から１題選択