2023　熊本大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}$$(4n^2-1)(a_n-a_{n+1})=8(n^2-1)a_n{a}_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(問１)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(問２)　$a_n\ne 0$を示せ．

(問３)　${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$を$n$の式で表せ．

(問４)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．$1$個のさいころを$n$回投げて，出た目の数の積をとる．積が$12$となる確率を$p_n$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$p_2\text{，}$$p_3$を求めよ．

(問２)　$n\geqq 4$のとき，$p_n$を求めよ．

(問３)　$n\geqq 4$とする．出た目の数の積が$n$回目にはじめて$12$となる確率を求めよ．

【３】　$\alpha \text{，}$$\beta$を複素数とし，複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$が三角形をなすとする．点$\mathrm{A}$を点$\mathrm{O}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{O}$を点$\mathrm{B}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{Q}\text{，}$点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$を中心として${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵POA}\text{，}$$\mathrm{▵QBO}\text{，}$$\mathrm{▵RAB}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を表す複素数のそれぞれを$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(問２)　$3$点$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$を表す複素数のそれぞれを$\alpha \text{．}$$\beta$を用いて表せ．

(問３)　$3$点$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$が三角形をなすとき，$\mathrm{▵GHI}$が正三角形かどうか判定せよ．

【４】　$t$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　関数$f(x)=2t{x}^2{e}^{-t{x}^2}$の極値を求めよ．

(問２)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{2}}}4tx(1-t{x}^2)e^{-t{x}^2}\log x\mathit{dx}$の値を$t$を用いて表せ．

(問３)　(問２)で求めた値を$g(t)$とおく．$1<t<4$のとき，不等式

$g(t)>(t^{\frac{5}{2}}-t^2+1)e^{-t^2}-e^{-t}$

が成り立つことを示せ．

【１】　$n$を$3$以上の自然数とする．$1$個のさいころを$n$回投げて，出た目の数の積をとる．積が$60$となる確率を$p_n$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$p_3$を求めよ．

(問２)　$n\geqq 4$のとき，$p_n$を求めよ．

(問３)　$n\geqq 4$とする．出た目の数の積が$n$回目にはじめて$60$となる確率を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{v}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{w}$とおく．$\overrightarrow{e_1}=(1,0)\text{，}$$\overrightarrow{e_2}=(0,1)$とするとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}\text{，}$$\overrightarrow{w}$は

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{e_1}\text{，}\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{e_1}=4\text{，}& \left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{5}\text{，}& \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{e_2}<0\text{，}\\ \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{e_1}=8\text{，}& \left|\overrightarrow{w}\right|=8\sqrt{2}\text{，}& \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{e_2}>0\end{array}$

を満たすとする．ただし，$\left|\overrightarrow{x}\right|$はベクトル$\overrightarrow{x}$の大きさを表し，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．

(問１)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

(問２)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の方程式を求めよ．

(問３)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の中心を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積と$\mathrm{▵ABP}$の面積の比を求めよ．

【３】　$xy$平面上に点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$をとり，$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとする．点$\mathrm{A}$は$y$軸上の点で，$y$座標が負であり，$\mathrm{AP}=2$を満たす．点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=4\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たす点とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(問２)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標の最大値と最小値および$y$座標の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

(問３)　点$\mathrm{Q}$の軌跡と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　平面上の$2$つの円が直交するとは，$2$つの円が$2$点で交わり，各交点において$2$つの円の接線が互いに直交することである．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C_1\text{，}$$C_2$は半径がそれぞれ$r_1\text{，}$$r_2$の円とする．$C_1$の中心と$C_2$の中心の間の距離を$d$とする．$C_1$と$C_2$が直交するための必要十分条件を$d\text{，}$$r_1\text{，}$$r_2$の関係式で表せ．

(問２)　$p\text{，}$$r_1\text{，}$$r_2$は$p>r_1+r_2\text{，}$$r_1>0\text{，}$$r_2>0$を満たす実数とする．座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r_1$の円を$C_1\text{，}$点$(p,0)$を中心とする半径$r_2$の円を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$のいずれにも直交する円の中心の軌跡を求めよ．

(問３)　互いに外部にある$3$つの円の中心が一直線上にないとき，それら$3$つの円のいずれにも直交する円がただ$1$つ存在することを示せ．

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$2(a_n-a_{n+1})=(n+2)a_n{a}_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(問１)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(問２)　$a_n\ne 0$を示せ．

(問３)　${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$を$n$の式で表せ．

(問４)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{v}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{w}$とおく．$\overrightarrow{e_1}=(1,0)\text{，}$$\overrightarrow{e_2}=(0,1)$とするとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}\text{，}$$\overrightarrow{w}$は

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{e_1}\text{，}\\ \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{e_1}=4\text{，}& \left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{5}\text{，}& \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{e_2}<0\text{，}\\ \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{e_1}=8\text{，}& \left|\overrightarrow{w}\right|=8\sqrt{2}\text{，}& \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{e_2}>0\end{array}$

を満たすとする．ただし，$\left|\overrightarrow{x}\right|$はベクトル$\overrightarrow{x}$の大きさを表し，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の内積を表す．以下の問いに答えよ．

(問１)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

(問２)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の方程式を求めよ．

(問３)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る円の中心を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{▵ABP}$の面積を求めよ．

【４】　$k$は正の実数とし，$2$つの関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+x^2-4x+{\displaystyle \frac{7}{3}}\text{，}$$g(x)=x^2+4x+4+k$

を考える．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，放物線$y=g(x)$を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　関数$f(x)-g(x)$の極値を$k$を用いて表せ．

(問２)　$C_1$と$C_2$がちょうど$2$個の共有点をもつような$k$の値を求めよ．

(問３)　$k$を(問２)で求めた値とする．$C_1$と$C_2$の$2$個の共有点を通る直線を$l$とするとき，$C_2$と$l$で囲まれた図形と$x\geqq 0$の表す領域の共通部分の面積を求めよ．