2023　大分大学　前期MathJax

【１】　直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=12\text{，}$$\mathrm{CA}=13$とする．$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

(2)　$\mathrm{\angle A}$の二等分線と$\mathrm{▵ABC}$の外接円の交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{DE}$の長さを求めなさい．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{BO}$と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を求めなさい．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を求めなさい．

【２】　等比数列$\{a_n\}$は$a_2=3\text{，}$$a_5=24$を満たし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とする．また，数列$\{b_n\}$は，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k={\displaystyle \frac{3}{2}}{b}_n+S_n$

を満たすとする．

(1)　一般項$a_n$と$S_n$を$n$を用いてそれぞれ表しなさい．

(2)　$b_1$の値を求めなさい．

(3)　$b_{n+1}$を$b_n\text{，}$$n$を用いて表しなさい．

(4)　一般項$b_n$を$n$を用いて表しなさい．

【３】　$0\leqq k\leqq 2$とし，

$S(k)={\displaystyle {\int }_k^{k+1}}|x^2-2x|\mathit{dx}$

とする．

(1)　関数$y=|x^2-2x|$のグラフを描きなさい．

(2)　$0\leqq k\leqq 1$のとき，$S(k)$を$k$を用いて表しなさい．

(3)　$0\leqq k\leqq 1$のとき，$S(k)$の最大値とそのときの$k$の値を求めなさい．

(4)　$1\leqq k\leqq 2$のとき，$S(k)$を$k$を用いて表しなさい．

(5)　$1\leqq k\leqq 2$のとき，$S(k)$が最小となる$k$の値を求めなさい．

【４】　曲線$C$を媒介変数$\theta$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=3\cos \theta \\ y=\sin 2\theta \end{array}$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

と表す．

(1)　曲線$C$上の点で，$y$座標の値が最大となる点の座標$(x,y)$を求めなさい．また，曲線$C$上の点で，$y$座標の値が最小となる点の座標$(x,y)$をすべて求めなさい．

(2)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

(3)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めなさい．

【１】　$xyz‐$空間内の$2$点$\mathrm{P}$$(-1,1,-4)$と$\mathrm{Q}$$(1,2,-2)$を通る直線$l$と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球面$S_r$が与えられている．以下の問に答えなさい．

(1)　球面$S_r$と直線$l$が$2$点で交わるための$r$の条件を求めなさい．

(2)　球面$S_r$と直線$l$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$r$を用いて表しなさい．

(3)　(2)のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$r$を用いて表しなさい．

【２】　$n$を自然数とする．$5$個の赤玉と$n$個の白玉が入った袋がある．袋から玉を取り出し，取り出した玉は袋に戻さない．袋から$1$個ずつ球を取り出していくとき，$6$回目が赤玉で袋の中の赤玉がなくなる確率を$p(n)$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　$p(n)$を二項係数を用いて表しなさい．

(2)　$p(n)=A({\displaystyle \frac{1}{{}_{n+4}C_4}}-{\displaystyle \frac{1}{{}_{n+5}C_4}})$となる定数$A$を求めなさい．

(3)　$S_n=p(1)+p(2)+\cdots +p(n)$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めなさい．

【３】　$xyz‐$空間内の$2$点$\mathrm{A}$$(1,1,-1)$と$\mathrm{B}$$(-3,1,3)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$z$軸を中心に回転させてできる回転面を$S$とする．以下の問に答えなさい．

(1)　$S$と$yz‐$平面との交わりを$y$と$z$の方程式で表し，$yz‐$平面に図示しなさい．

(2)　$2$つの平面$z=3$及び$z=-1$と$S$で囲まれる立体の体積を求めなさい．