2023　大分大学　推薦電気エネルギー・電子工学プログラムMathJax

【１】　次の問いに答えなさい．答えだけでなく，問題を解いた手順がわかるように，主な式や考え方等を書きなさい．

［１］　原点を$\mathrm{O}$とする空間に$\mathrm{A}$$(4,2,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,6,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-2,-1,5)$の$3$点がある．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{OA}\perp \mathrm{OC}$と$\mathrm{OB}\perp \mathrm{OC}$であることを示しなさい．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}=\theta$としたとき，$\sin \theta$を求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めなさい．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．答えだけでなく，問題を解いた手順がわかるように，主な式や考え方等を書きなさい．

［２］　右図のように長方形$\mathrm{ABCD}$に内接する斜辺の長さが$1$の直角三角形$\mathrm{AEF}$がある．$\mathrm{\angle DAF}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle FAE}=\beta$とする．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)　辺$\mathrm{FD}$の長さを求めなさい．

(2)　辺$\mathrm{CF}$の長さを求めなさい．

(3)　辺$\mathrm{AB}$の長さを正弦関数で表しなさい．

(4)　$0\leqq \alpha +\beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\alpha \geqq 0\text{，}$$\beta \geqq 0$であるとき，正弦関数の加法定理が成り立つことを示しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．答えだけでなく，問題を解いた手順がわかるように，主な式や考え方等を書きなさい．

［３］　$x$を変数とした次式で表される関数$E(x)$がある．ただし，$Q\text{，}$$\epsilon \text{，}$$d$は正の定数であり$\pi$は円周率とする．

$E(x)={\displaystyle \frac{-Q}{4\pi \epsilon }}\{{\displaystyle \frac{1}{{(d-x)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{(d+x)}^2}}\}$

$a$は定数で$0<a<d$であるとき，次の定積分を求めなさい．

$V=-{\displaystyle {\int }_0^{d-a}}E(x)\mathit{dx}$

【１】　次の問いに答えなさい．答えだけでなく，問題を解いた手順がわかるように，主な式や考え方等を書きなさい．

［４］　$xy$平面上に$1$次関数$f(x)$により$y=f(x)$で表される直線$L$と，$3$次関数$g(x)$により$y=g(x)$で表される曲線$C$がある．直線$L$と曲線$C$は$3$つの交点$\mathrm{P}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{R}$$(2,3\sqrt{2})$で交わる．さらに$g(\sqrt{2})=0$となる．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$を求めなさい．

(2)　$g(x)$を求めなさい．

(3)　直線$L$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．答えだけでなく，問題を解いた手順がわかるように，主な式や考え方等を書きなさい．

［５］　常用対数に関する以下の問いに答えなさい．${10}^{0.30}=2\text{，}$${10}^{0.48}=3$とする．

(1)　${\log }_{10}{15}^{16}$の値を小数第二位まで求めなさい．

(2)　${15}^{16}$と${16}^{15}$はどちらが大きな数であるか求めなさい．解のみは正答としない．

【１】　次の問いに答えなさい．答えだけでなく，問題を解いた手順がわかるように，主な式や考え方等を書きなさい．

［６］　ある工場で$1\mathrm{kg}$の価格が$27$万円の製品$\mathrm{A}$と$21$万円の製品$\mathrm{B}$を製造している．製品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$はともに$1\mathrm{kg}$の価格が$1$万円の原料$\mathrm{P}$と同じく$1$万円の原料$\mathrm{Q}$を使用している．製品$\mathrm{A}$を$1\mathrm{kg}$生産するために原料$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をそれぞれ$6\mathrm{kg}\text{，}$$3\mathrm{kg}$必要とし，製品$\mathrm{B}$についてもそれぞれ$9\mathrm{kg}\text{，}$$2\mathrm{kg}$必要とする．原料$\mathrm{P}$が$54\mathrm{kg}\text{，}$原料$\mathrm{Q}$が$24\mathrm{kg}$しかないとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の価格からぞれぞれの原料の価格を除いた利益の合計を最大にするように製品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の生産量を決定する．以下の問いに答えなさい．

(1)　製品$\mathrm{A}$の生産量を$x\mathrm{kg}\text{，}$製品$\mathrm{B}$の生産量を$y\mathrm{kg}$とした場合，利益の合計$G$万円を式で表しなさい．

(2)　製品$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をそれぞれ$x\mathrm{kg}\text{，}$$y\mathrm{kg}$生産した場合，原料$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に関して満たすべき不等式をそれぞれ示しなさい．

(3)　最大となる利益の合計$\mathrm{G}$万円を求めなさい．