2023　大分大学　推薦機械工学プログラムMathJax

【３】

問１　曲線$y=x^2(x-3)$がある．

(1)　この曲線を，解答用紙の$x‐y$平面上に図示しなさい．

(2)　曲線の$x=1$における接線の式を求めなさい．

(3)　曲線と，(2)で求めた接線と，$y$軸で囲まれる部分の面積を求めなさい．

【３】

問２　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標が，それぞれ$(0,0)\text{，}$$(4,3)\text{，}$$(2,4)$であるとする．図のように，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$にひいた垂線と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{H}$とする．この点$\mathrm{H}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を求めることを考える．

(1)　線分$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$なす角を$\theta$としたとき，$\cos \theta$を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の向きの単位ベクトル$\overrightarrow{e}$を求めなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$を求めなさい．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|\overrightarrow{e}$であることを用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を求めなさい．

(5)　以上を一般化することを考える．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，座標の値を用いず，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のみを用いて表しなさい．