2023　大分大学　推薦知能機械システムプログラムMathJax

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

1)　$xy$平面上に任意の点$\mathrm{P}$$(p,q)$をとり，この点を頂点とし原点$\mathrm{O}$を通る$2$次関数$y=f(x)$のグラフがある．さらに，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$L$があるとき，以下の$4$つの小問に答えなさい．ただし，$p>0\text{，}$$q>0$であるものとする．

1-1)　原点$\mathrm{O}$以外の$2$次関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を答えなさい．

1-2)　直線$L$の式を求めなさい．

1-3)　この$2$次関数と直線$L$が原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$で交わることから，$2$次関数を求めなさい．

1-4)　この$2$次関数と直線$L$で囲まれた領域の面積を求めなさい．

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

2)　袋の中に数字の$\text{「}0\text{」}$が記されたカードが$4$枚，$\text{「}1\text{」}$が記されたカードが$4$枚ある．袋から$1$枚ずつ$5$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードを並べる．これを$2$進数の数とみなすとき，以下の$4$つの小間に答えなさい．ただし，$\text{「}00101\text{」}$のような先頭に$\text{「}0\text{」}$がある$2$進数は，これらを省略した$\text{「}101\text{」}$と同じであるものとする．

2-1)　上記操作でできうる$2$進数の最小値と最大値を$10$進数で答えなさい．

2-2)　上記操作により，$\text{「}0\text{」}$が$3$つ，$\text{「}1\text{」}$が$2$つの$2$進数ができたものとする．できうる$2$進数をすべて列挙しなさい．

2-3)　2-2)のように$\text{「}0\text{」}$が$3$つ，$\text{「}1\text{」}$が$2$つの$2$進数となる確率を求めなさい．

2-4)　できた$2$進数が$3$桁目を中心に左右対称な$2$進数となる確率を求めなさい．

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

3)　つぎの条件によって定められた数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．

$a_{n+1}=a_n+\sqrt{3}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}=-\sqrt{3}{a}_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

初項$a_1=0\text{，}$$b_1=1\text{，}$このとき，以下の$2$つの小問に答えなさい．

3-1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めなさい．

3-2)　すべての自然数$n$に対して，$a_{n+3}=-8a_n$が成り立つことを証明しなさい．

【２】　以下の設問1)〜4)に対して，適切な図と説明を加えたうえで答えなさい．解答は，指定された問題番号を記した解答用紙に記入すること．

4)　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$点の座標をそれぞれ$(-1,1,2)\text{，}$$(3,-1,0)\text{，}$$(1,3,-2)$にする．

4-1)　三角形の三辺の長さ$\left|\mathrm{AB}\right|\text{，}$$\left|\mathrm{BC}\right|\text{，}$$\left|\mathrm{CA}\right|$をそれぞれ求めなさい．

4-2)　三角形の面積$S$を求めなさい．

4-3)　三角形の重心$\mathrm{O}$の座標を求めなさい．

4-4)　三角形と内接する円の半径$r$を求めなさい．