2023　宮崎大学　前期MathJax

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　関数$f(x)=\cos \sqrt{x+1}$の導関数は，$f^{\prime }(x)=\text{あ}$である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{\log x}}$の導関数は，$f^{\prime }(x)=\text{い}$である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2x+1}}}$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\text{う}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(4)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}}$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{2}}\log \text{え}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_{-2}^0}\log (x+3)\mathit{dx}$の値は，$\text{お}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$および座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C\text{：}y=f(x)$について，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　直線$y=ax$が曲線$C$に$\mathrm{O}$で接するときの定数$a$の値を求めよ．また，このとき，$x>0$において，$ax>f(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸，変曲点および漸近線を調べて，曲線$C$の概形をかけ．

(4)　(2)で求めた$a$の値に対し，曲線$C$と直線$y=ax$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　空間に四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\mathrm{OA}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=45\mathrm{°}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$におろした垂線の足を$\mathrm{D}$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$におろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする．また，点$\mathrm{F}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}$となるように定める．このとき，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}$として，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$\left|\overrightarrow{\mathrm{DB}}\right|$の値も求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{f}$を用いて表せ．

(4)　四面体$\mathrm{OACF}$の体積を求めよ．

【４】　表に$\mathrm{A}\text{，}$裏に$\mathrm{B}$と書かれたコインがある．このコインを$n$回投げる試行を行い，$\mathrm{A}$が出た回数と同じ枚数のイヌの絵はがき，$\mathrm{B}$が出た回数と同じ枚数のネコの絵はがきを貰えるとする．例えば，$n=3$のとき，$\mathrm{ABA}$と出たら，イヌの絵はがきを$2$枚，ネコの絵はがきを$1$枚貰える．このとき，次の各問に答えよ．ただし，使用するコインは，表，裏がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出るものとする．

(1)　$n=3$のとき，イヌの絵はがきを$2$枚以上貰える確率を求めよ．

(2)　$n=3$のとき，イヌとネコのどちらの絵はがきも貰える確率を求めよ．

(3)　$n\geqq 3$のとき，$\mathrm{A}$が連続して$3$回以上出たら，貰えるイヌやネコの絵はがきに追加してウシの絵はがきも貰えることにする．$n=6$のとき，イヌ，ネコ，ウシのいずれの絵はがきも貰える確率を求めよ．

【５】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0)$がある．また，点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$x>1\text{，}$$y>0$を満たしながら座標平面上を動くとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

(2)　$\tan \mathrm{\angle APB}$を，$x$と$y$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$x>1\text{，}$$y>0\text{，}$$\mathrm{\angle APB}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$を満たしながらくまなく動くとき，点$\mathrm{P}$の動きうる領域を座標平面上に図示せよ．

【４】　自然数$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$と$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，${\theta }_k(n)$を，${\theta }_k(n)=(1-{\displaystyle \frac{k}{n}}){\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定め，座標平面上の円$C_n$と直線$L_{k,n}$をそれぞれ，

$C_n\text{：}{x}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\text{，}$$L_{k,n}\text{：}x\sin {\theta }_k(n)-y\cos {\theta }_k(n)=0$

とする．$C_n$と$L_{k,n}$との$2$つの交点のうち，$x$座標が大きい方の交点の$x$座標を$x_k(n)$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$n\geqq k$のときの$x_k(n)$を求めよ．

(2)　次の空欄に当てはまる数または数式を求めよ．

自然数$m$に対して，$A_t(m)$$\text{（}t=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$を，

$A_I(m)={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{x}_k(k+t)$

とし，$B_N$$\text{（}N=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を，

$B_N={\displaystyle \sum _{t=0}^{N-1}}{A}_t(N-t)$

とする．このとき，$A_1(1)={\displaystyle \frac{\text{あ}}{4}}\text{，}$$A_2(1)={\displaystyle \frac{\text{い}}{6}}$となる．また，$B_2-B_1={\displaystyle \frac{\text{う}}{4}}\text{，}$$B_3-B_2={\displaystyle \frac{\text{え}}{6}}$となる．さらに，$N=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots$に対して，

$B_N-B_{N-1}={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{k=1}^N}\text{お}$

となる．

(3)　(2)で定めた$B_N$$\text{（}N=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$について，$\underset{N\to \infty }{\lim }(B_N-B_{N-1})$の値を求めよ．

【５】　次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　$a>1$を満たす定数$a$と，区間${\displaystyle \frac{1}{a}}\leqq x\leqq a$において連続な関数$f(x)$に対して，等式

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{a}}^a}{\displaystyle \frac{f(x)}{1+x^2}}\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{a}}^a}{\displaystyle \frac{f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}{1+x^2}}\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(2)　定積分$I={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{1+x}{x(1+x^2)}}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　関数$g(x)={\displaystyle \frac{\log x}{1+x^2}}$は，区間$0<x\leqq \sqrt{e}$においてつねに増加することを示せ．

(4)　(3)の関数$g(x)$に対して，$y=g(x)$$\text{（}x>0\text{）}$のグラフを$C$とする．曲線$C$と$x$軸および直線$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と$x$軸および直線$x=\sqrt{e}$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき$S_1$と$S_2$は等しいことを示せ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　$a=2023\text{，}$$b=1742$とする．このとき，

${\displaystyle \frac{1}{ab}}={\displaystyle \frac{m}{a}}+{\displaystyle \frac{n}{b}}$

となる整数の組$(m,n)$で$1\leqq n\leqq 2000$を満たすものをすべて求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(2)　$p$を$3$以上の素数とする．このとき，

$(p-1)!\times (1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{p-1}})$

は$p$の倍数であることを示せ．

【３】　座標平面上に放物線$C_1\text{：}y=x^2-6x+2\text{，}$$C_2\text{：}y=-x^2+10x-22$がある．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を$C_1$上の点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$l$の方程式を，$t$を用いて去せ．

(3)　(2)の$l$が$C_1$と$C_2$の交点を通る直線に平行なとき，$l$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．

(4)　(3)のとき，$C_1$と$l$および$2$直線$x=2\text{，}$$y=6$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

【４A】　関数$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\cos (ax)$について，次の各問に答えよ．

(1)　$a=1$のとき，$0\leqq x\leqq 2\pi$における$y=f(x)$のグラフをかけ．また，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$a=\pi$のとき，$f(x)$は周期関数でないことを示せ．ただし，$\pi$は無理数であることを用いてよい．

【４B】　複素数平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周を$C$とする．$C$上に異なる$2$点${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(z_2)$をとり，$C$上にない$1$点${\mathrm{P}}_3(z_3)$をとる．さらに，

$w_1={\displaystyle \frac{1}{z_1}}\text{，}$$w_2={\displaystyle \frac{1}{z_2}}\text{，}$$w_3={\displaystyle \frac{1}{z_3}}$

とおき，複素数$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3$と対応する点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_3$とする．また，$i$を虚数単位とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$z_1={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\text{，}$$z_2={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}+i}{2}}\text{，}$$z_3={\displaystyle \frac{z_1+z_2}{2}}$のとき，$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3$をそれぞれ$a+bi$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）の形で求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$が直角であるとき，${\mathrm{P}}_3$が線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$上にあれば$\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_2$も直角であることを示せ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　方程式$a^2=b^2+15$を満たす自然数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(2)　$k$を定数とする．連立方程式

(＊)　$\{\begin{array}{l}{x}^2-4y+k=0\\ y^2-2x+k+18=0\end{array}$

が自然数解$x=x_0\text{，}$$y=y_0$をもつとき，自然数の組$(x_0,y_0)$および$k$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$k$に対し，連立方程式(＊)の$(x_0,y_0)$以外の解をすべて求めよ．