2023　琉球大学　前期MathJax

【１】　$a>0$とする．座標平面で関数$y={\displaystyle \frac{1}{x^a}}$のグラフ上の点$(1,1)$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{A}\text{，}$$y$軸と交わる点を$\mathrm{B}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$S(a)$を求めよ．

問２　$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$a$を実数とし，$f(x)=x{e}^{-\left|x\right|}\text{，}$$g(x)=ax$とおく．次の問いに答えよ．

間１　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$は証明なしに用いてよい．

間２　$0<a<1$のとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

【３】　空間内に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$をとる．時刻$t=0$から$t=1$まで$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は次のように動くものとする．

・$t=0$に$3$点は点$\mathrm{O}$を出発する．

・動点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OA}$上を速さ$1$で点$\mathrm{A}$に向かって動く．

・動点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OB}$上を速さ${\displaystyle \frac{1}{2}}$で点$\mathrm{B}$に向かって動く．

・動点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{OC}$上を速さ$2$で動く．$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$までは点$\mathrm{C}$へ向かって動き，$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$以後は点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{O}$に向かって動く．

時刻$t$における三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．次の問いに答えよ．

開１　$S(t)$を求めよ．

問２　$S(t)$を最大にする$t$の値を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを$6$の目が$2$回出るまで投げ続ける．$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して$p_k$を$k+1$回目に$2$回目の$6$の目が出る確率とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$p_k$を求めよ．

問２　$p_k$を最大にする$k$の値を求めよ．

間３　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_k$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$2023x+374y=17$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組を$1$つ求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　右図のように，同じ大きさの正三角形を並べて大きい正三角形を構築し，上から順番に$1$段目，$2$段目，$3$段目．$\cdots$と呼ぶことにして，$100$段目まで並べる．さらに，右図のように，各段の小三角形を左から白色，灰色，黒色の箱に繰り返し塗ることにする．

　このとき，$100$段目までの小三角形の総数と$100$段目までの白色の小三角形の個数を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3+x^2$とする．次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の増減，極値を調べ，$f(x)$のグラフの概形をかけ．

問２　$0<a<1$とする．曲線$y=f(x)$と直線$y=a^2(x+1)$によって囲まれた$2$つの部分の面積の和$S(a)$を求めよ．

問３　$0<a<1$の範囲で$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．