2023　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　関数$y=\sqrt{9-x^2}$に対して，次の問いに答えよ．

問１　増減を調べてこの関数のグラフの概形をかけ．

問２　この関数のグラフと$x$軸で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

【２】　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{1+t^2}}$とし，$f(x)=F(3x)-F(x)$とする．次の問いに答えよ．

間１　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

間２　$x\geqq 0$の範囲で，$f(x)$の最大値を求めよ．

【３】　自然数からなる$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

${(3+2\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

問１　すべての自然数$n$に対して，$a_n$は奇数，$b_n$は偶数であることを示せ．

問２　すべての自然数$n$に対して，

$1+2+3$$+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n-3}{2}}+{\displaystyle \frac{a_n-1}{2}}$$=1+3+5$$+\cdots +(b_n-3)+(b_n-1)$

が成立することを示せ．

【４】　赤球が$1$個，白球が$2$個入った袋から球を$1$個取り出して，その色を見てから袋に戻すという試行を，白球が$2$回続けて出るまで行う．$n$回目に白球を取り出しまだ試行が終わらない確率を$p_n\text{，}$$n$回目に赤球を取り出す確率を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

問１　$p_{n+1}\text{，}$$q_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n$を用いて表せ．

問２　$a_n=p_n-q_n$とするとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

問３　$b_n={(-3)}^n{p}_n$とするとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

間４　$n+1$回目で試行が終わる確率を求めよ．