2023　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}=(3,-1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,2,1)$とする．$t$をすべての実数とするとき$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　不等式

$8{({\log }_2\sqrt{x})}^2-3{\log }_8{x}^9<5$

をみたす$x$の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$\sqrt{23}$の整数部分を$n_0\text{，}$${(\sqrt{23}-n_0)}^{-1}$の整数部分を$n_1\text{，}$${\{{(\sqrt{23}-n_0)}^{-1}-n_1\}}^{-1}$の整数部分を$n_2$とする．このとき$n_0+{(n_1+{n_2}^{-1})}^{-1}$を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　同一直線上にない平面上の相異なる任意の$3$つの点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$に対して，$\mathrm{\angle YXZ}$の二等分線はベクトル${\displaystyle \frac{1}{\left|\overrightarrow{\mathrm{XY}}\right|}}\overrightarrow{\mathrm{XY}}+{\displaystyle \frac{1}{\left|\overrightarrow{\mathrm{XZ}}\right|}}\overrightarrow{\mathrm{XZ}}$と平行であることを示せ．

　平面上の$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=4$である三角形$\mathrm{OAB}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とする．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

　$\mathrm{\angle OAB}$の外角の二等分線と直線$\mathrm{OI}$の交点を$\mathrm{J}$とする．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{I}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{IH}$とするとき，$\mathrm{IH}$の長さを求めよ．

(5)　$\mathrm{J}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{JK}$とするとき，$\mathrm{JK}$の長さを求めよ．

【３】　確率$p$でシュートを成功させる選手がいる．ある試合中に，この選手は$3$回のシュートを試みた．

(1)　この選手が$3$回目で初めてシュートを成功させた確率を，$p$を用いて表せ．

　この選手の親は試合を観戦できなかったが，「$3$回のシュートのうち少なくとも$1$回のシュートを成功させた」という事象$A$が起こったことを知った．この事象$A$が起こったときに，この選手が$3$回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率は${\displaystyle \frac{25}{109}}$であるという．

(2)　$p$の値を求めよ．

(3)　事象$A$が起こったときに，この選手が$2$回目で初めてシュートを成功させる条件付き確率を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．$x>0$において関数$f_n(x)$を，

$f_n(x)=x^{n-1}{e}^{-x}$

と定義する．また，関数$f_n(x)$の最大値を$m_n$とする．

(1)　$m_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$x>0$であるとき，$x{f}_n(x)\leqq m_{n+1}$が成り立つことを利用して，極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

　$a$を正の実数とするとき，$x$に関する方程式

$x=a{e}^x$$\cdots \text{①}$

を考える．

(3)　方程式$\text{①}$における正の実数解の個数を調べよ．

　以下，方程式$\text{①}$が，相異なる$2$つの正の実数解$\alpha \text{，}$$\beta$を持ち，$\beta -\alpha =\log 2$をみたす場合を考える．

(4)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$a$を求めよ．

(5)　$xy$平面上において$y=f_2(x)$と$y=a$で囲まれた領域の面積を求めよ．