2023　釧路公立大学　中期MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．

問１　$k$が整数のとき，次の$5$個の値$(-2,0,1,2,k)$の標準偏差が$2$となるような$k$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

問２　$\mathrm{A}$$(-3,4)$と点$\mathrm{B}$$(3,-4)$について，${\mathrm{AP}}^2-{\mathrm{BP}}^2=8$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

問３　${\displaystyle \frac{1}{l}}+{\displaystyle \frac{1}{2m}}+{\displaystyle \frac{1}{3n}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{（}l<m<n\text{）}$を満たす自然数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$の組を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

問１　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$のとき，次の式の値を求めよ．

(1)　$\sin \theta \cos \theta$

(2)　${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$

(3)　${\tan }^3\theta +{\displaystyle \frac{1}{{\tan }^3\theta }}$

【２】　以下の各問に答えよ．

問２　$n$が整数のとき，$n^5-n^3$が$6$の倍数であることを示せ．

【３】　関数$y=-(9^x+9^{-x})+{\displaystyle \frac{20}{3}}(3^x+3^{-x})$について，以下の各問に答えよ．

(1)　$t=3^x+3^{-x}$とするとき，$y$を$t$のみの式で表せ．

(2)　(1)の$t$について，その最小値を求めよ．

(3)　$y$の最大値およびそのときの$x$の値を求めよ．

【４】　以下の各問に答えよ．

問１　$x$軸上を動く点$\mathrm{A}$があり，最初は原点にある．さいころを投げ，$4$以下の目が出たら正の方向に$2$だけ進み，$5$以上の目が出たら負の方向に$1$だけ進む．さいころを$6$回投げるものとして，次の確率を求めよ．

(1)　点$\mathrm{A}$が原点に戻る確率

(2)　点$\mathrm{A}$の座標が$8$以下である確率

【４】　以下の各問に答えよ．

問２　$n$を$4$以上の自然数とする．$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$から異なる$3$つの数を無作為に選び，それらを小さい順に並べかえたものを，$X_1<X_2<X_3$とするとき，$X_2=4$となる確率を求めよ．