2023　公立千歳科学技術大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin 2x-\sin 3x}{x}}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　不等式$|2x-3|-3|x-5|>0$を満たす実数$x$の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　不等式${\log }_{x+1}(3-x)>0$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　実数$x$に対し$n\leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と表す．$f(x)=[x](x+1)$であるとき，${\displaystyle {\int }_{-3}^{-\frac{5}{2}}}f(x)\mathit{dx}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　複素数$\alpha$が$\left|\alpha \right|=\sqrt{2}$を満たしているとき，複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\sqrt{3}+i)\text{，}$$\mathrm{C}(1+\sqrt{3})$からなる三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めなさい．ただし，$i=\sqrt{-1}$である．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　$n$進法の数を添字${}_{(n)}$を用いて表すとき，${123}_{(m)}+{10}_{(2)}\times m={77}_{(8)}$を満たす$m$を$10$進法で答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　$n$人でグー，チョキ，パーによるジャンケンを$1$回行う．あいこになる確率が$0.5$以下となる$n$の最大値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　整式$x^{53}$を$x^2+x+1$で割ったときの余りを求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　不等式$x^2-2x+1>0$を解きなさい．

(2)　$y=\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4}$のグラフをかきなさい．$x$軸および$y$軸との交点や頂点等グラフの特徴を表す点があればそれらの座標を明記しなさい．

【３】　初項が$a_1=0$である数列$\{a_n\}$を，$1$以上の整数$n$について

$a_{n+1}=4a_n+n\cdot 2^n$$\cdots \text{①}$

で定めると，その一般項は

$a_n=2^{2n-1}-(n+1)2^{n-1}$$\cdots \text{②}$

である．以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　式$\text{①}$から$a_3$の値を求めなさい．また，式$\text{②}$の右辺を$r(n)$と書くとき，$r(3)$を計算しなさい．

(2)　式$\text{②}$が$1$以上のすべての整数$n$について成り立つことを数学的帰納法によって証明しなさい．

【４】　半球$\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leqq r^2\text{，}y\geqq 0\}$を平面$y=c$$\text{（}0<c<r\text{）}$によって$2$つの立体に切断する．以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$y=c$による半球の切り口の面積を表す関数$S(c)$を求めなさい．

(2)　切断された立体のうち領域$y\geqq c$にある立体の体積を$V_A$とし，領域$y\leqq c$にある立体の体積を$V_B$とする．$c={\displaystyle \frac{r}{2}}$のとき体積の比$V_A:V_B$を求めなさい．