2023　公立千歳科学技術大学　中期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$10$進法で表した$5$桁の正の整数$\mathrm{A}35\mathrm{B}3$が$9$の倍数かつ最小になるような$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$f(x)=-{\cos }^{2}x+\sin x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$の最大値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$x\geqq 0$において，$f(x)+{\displaystyle {\int }_1^x}3t{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}=3x^2+2x+3$を満たす関数$f(x)$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$f(x)=x|x+3|$とする．方程式$f(x)=k$が$1$個の実数解をもつ$k$の値の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　$\alpha ={\log }_{2}e$とするとき，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-{\log }_2(2x+2)}{x}}$を$\alpha$を用いて表しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　関数$f(x)=\sqrt{x}+1$とその逆関数$f^{-\mathrm{l}}(x)$に対し，方程式$f(x)=f^{-1}(x)$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　方程式$3x+y+z+w=12$を満たす$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$w$の$0$以上の整数解の組の総数を求めなさい．

【２】　実数$a$を定数とする．方程式$a{x}^2=e^x$の異なる実数解の個数を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^2}}=\infty$は証明せずに用いてよい．

【３】　関数$f(x)=\sin (\lambda x)$に対し，$f(x)$の第$n$次導関数を${\displaystyle \frac{d^n}{{\mathit{dx}}^n}}f(x)$と書く．例えば，第$1$次導関数は$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{d^1}{{\mathit{dx}}^1}}f(x)$である．$\lambda$を正の定数として，以下の問いに答えなさい．

(1)　数学的帰納法により$1$以上のすべての整数$n$について${\displaystyle \frac{d^n}{{\mathit{dx}}^n}}f(x)={\lambda }^{n}f(x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2\lambda }})$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　$g(x)=\cos (\lambda x)$とする．${\displaystyle \frac{d^n}{{\mathit{dx}}^n}}\{f(x)g(x)\}=A(x)f(B(x))$を満たす$A(x)=a_{1}x+a_0$と$B(x)=b_{1}x+b_0$の係数$a_1\text{，}$$a_0\text{，}$$b_1\text{，}$$b_0$を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(3)　関数$g(x)$を前問と同様に定める．次の命題において，$\text{＊}$に当てはまるものを(ア)〜(エ)の選択肢から選び，その理由を説明しなさい．

命題：$0<\lambda <1$であることは$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{d^n}{{\mathit{dx}}^n}}\{f(x)g(x)\}$が収束するための$\text{＊}\text{．}$

(ア)　必要条件であるが十分条件ではない

(イ)　十分条件であるが必要条件ではない

(ウ)　必要十分条件である

(エ)　必要条件でも十分条件でもない

【４】　座標平面におけるサイクロイド$x=\theta -\sin \theta \text{，}$$y=1-\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$を$C$とする．以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　曲線$C$上の点$({\displaystyle \frac{3}{2}}\pi +1,1)$における接線$L_1$の方程式を求めなさい．

(2)　曲線$C$の接線$L_2$が接線$L_1$と直交するとき，$L_1$と$L_2$の交点を求めなさい．

(3)　曲線$C$と接線$L_1\text{，}$$L_2$のグラフをかきなさい．曲線と接線の接点の座標，および$L_1$と$L_2$の交点の座標を明記すること．

(4)　曲線$C$と接線$L_1\text{，}$$L_2$で囲まれた領域の面積を求めなさい．

【５】　座標空間における$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$で構成された四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$0\leqq t<1$を満たす実数$t$に対して，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表しなさい．

(2)　$0\leqq u<1$を満たす実数$u$に対して，線分$\mathrm{MC}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$と表すとき，ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の係数の和$x+y$を$u$を用いて表しなさい．

(3)　線分$\mathrm{MN}$の中点$\mathrm{Q}$に対し，直線$\mathrm{OQ}$と$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面との交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$t$を用いて表しなさい．

(4)　線分$\mathrm{OR}$の長さの最小値を求めなさい．