2023　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　大小$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．このとき，座標平面上の直線$ax+by=1$を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{▵OAB}$の$\mathrm{\angle OAB}$を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$\cos \theta <{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる確率を求めよ．

問２　$2\sin \theta \cos \theta$が整数となる確率を求めよ．

問３　$\mathrm{▵OAB}$の内接円の半径が有理数となる確率を求めよ．

【２】　座標平面上の曲線$y=x|x-2|$を$C$とし，直線$y=mx$を$l$とする．ただし，$0<m<2$とする．また，曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．

問１　曲線$C$と直線$l$を同一の座標平面上に図示せよ．

問２　面積$S$を$m$を用いて表せ．

問３　面積$S$が最小となるときの$m$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値を求める必要はない．

【１】　$n$を自然数とする．正の実数$a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\text{，}$$b=\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}$を用いて，数列$\{c_n\}$を$c_n=a^n-b^n$と定める．以下の問いに答えよ．

問１　$ab\text{，}$$c_3\text{，}$$c_1$がそれぞれ整数であることを示せ．

問２　${\displaystyle \frac{c_2}{\sqrt{5}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{c_4}{\sqrt{5}}}$がそれぞれ整数であることを示せ．

問３　$f(a)=f(b)=0$となるような，整数係数の$4$次多項式$f(x)$を$1$つ求めよ．また，漸化式$c_{n+4}=A{c}_{n+2}+B{c}_n$を満たすような定数$A$および$B$の値をそれぞれ求めよ．

問４　$c_{2n-1}$および${\displaystyle \frac{c_{2n}}{\sqrt{5}}}$がそれぞれ正の整数であることを示せ．さらに，$c_{2n-1}$が${(c_{2n})}^2-1$の約数であることを示せ．

【２】　$x$の範囲を$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$a$を正の定数とする．また，次のように$x$に関する条件$p\text{，}$$q$を定める．

条件$p\text{：}{(x-a)}^2(x-{\displaystyle \frac{1}{a}})\geqq 0$

条件$q\text{：}-1<{\log }_{(\cos x)}(8{\cos }^{3}x-8\cos x+{\displaystyle \frac{1}{\cos x}})<0$

以下の問いに答えよ．

問１　$\cos 4x-\cos x$を$2$つの三角関数の積の形に変形し，$\cos 4x\leqq \cos x$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

問２　条件$p$を満たす$x$の範囲を$a$を用いて表せ．

問３　$\cos 4x$を$\cos x$を用いて表せ．また，条件$q$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

問４　命題$\text{「}q⟹p\text{」}$が，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のすべての$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　定数$p$を$3$以上の奇数，$i$を虚数単位とし，$\alpha =\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{p}}\right)+i\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{p}}\right)$とする．また，複素数$z$に対して$f(z)={\displaystyle \frac{1}{z+1}}$とし，複素数$z$の偏角$\arg z$を$0\leqq \arg z<2\pi$の範囲で考える．$n$を$p$以下の自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　${\alpha }^n$の実部および虚部を，$p$と$n$を用いてそれぞれ表せ．

問２　$f({\alpha }^n)$は実部${\displaystyle \frac{1}{2}}$の複素数であることを示せ．

問３　$\tan (\arg f({\alpha }^n))$の最大値とそのときの$n$を，$p$を用いてそれぞれ表せ．

【２】　$n$を自然数とし，定積分$I_n$を

$I_n={\displaystyle {\int }_1^n}{\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)}}\mathit{dx}$

と定める．以下の問いに答えよ．

問１　$x\geqq 1$のとき，$x+1\leqq x^2+1\leqq 2x^2$であることを用いて，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{4}}(1-{\displaystyle \frac{1}{n^2}})\leqq I_n\leqq \log \left({\displaystyle \frac{2n}{n+1}}\right)$

問２　${\displaystyle \frac{1}{x(x^2+1)}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{bx+c}{x^2+1}}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を定めよ．さらに，定積分$I_n$を求めよ．

問３　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．