2023　公立はこだて未来大学　学校推薦MathJax

【１】　$n$を正の整数とし，数列$\{a_n\}$が漸化式$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}})\text{，}$$a_1=2$を満たすとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n-1}}$により定める．以下の問いに答えよ．

問１　$x$を正の実数とする．相加相乗平均の式$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq 2$を示せ．

問２　すべての$n$に対し$a_n>1$であることを数学的帰納法により示せ．

問３　$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$の値をそれぞれ求めよ．また，$b_{n+1}$を$b_n$で表せ．

問４　数列$\{c_n\}$を$c_n={\log }_3{b}_n$により定めるとき，$c_{n+1}$を$c_n$で表せ．さらに，$b_n$と$a_n$の一般項を求めよ．

【２】　座標平面上の放物線$y=x^2+2$を$C$とする．$a^2+2>b$を満たす点$\mathrm{P}$$(a,b)$から相異なる$2$本の接線を$C$に引き，$2$つの接点の中点を$\mathrm{S}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{S}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．

問２　$a=0\text{，}$$b=1$とするとき，放物線$C$と$2$本の接線で囲まれる領域の面積を求めよ．

問３　点$\mathrm{P}$が原点を中心とする半径$1$の円上を動くとき，点$\mathrm{S}$の$y$座標の最大値および最小値を求めよ．また，それぞれのときの点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

【１】　$2$つの確率変数$X\text{，}$$Y$が互いに独立で，それぞれの確率分布が以下の表で与えられるとする．以下の問いに答えよ．

問１　確率変数$X$の期待値と分散をそれぞれ求めよ．

問２　確率変数$Y$の期待値と分散をそれぞれ求めよ．

問３　確率変数$(X+2Y)$の期待値と分散をそれぞれ求めよ．