2023　公立はこだて未来大学　総合型選抜MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

問１　整数全体を全体集合$U$とし，$U$の部分集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{6,9,a^2-4a+5\}$

$B=\{3,9,a+1,a+3\}$

とする．$A\cap B=\{2,9\}$であるとき，定数$a$の値を求めよ．また，このときの$\bar{A}\cap B$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問２　実数$\alpha \text{，}$$\beta$が$\sin \alpha +\sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{，}$$\cos \alpha +\cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$を満たすとき，$\cos 2(\alpha -\beta )$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問３　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,1,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,1,-1)$の両方に垂直で，大きさが$\sqrt{6}$であるベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問４　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+x+b$が$x=-1$で極大値$5$をとるように，定数$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ定めよ．また，このときの$f(x)$の極小値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

問５　曲線$y=x^3-4x^2$と直線$y=-3x$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

【１】　$1$回の試行において事象$\mathrm{A}$の起こる確率を$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$とする．この試行を$3$回行なうとき，$k$回目$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$の試行で$\mathrm{A}$が起これば$1\text{，}$起こらなければ$0$の値をとる確率変数$X_k$を考える．この反復試行によって$\mathrm{A}$が起こる回数を$X=X_1+X_2+X_3$とする．以下の問いに答えよ．

問１　各$k$に対して，確率変数$X_k$の期待値$E(X_k)$および分散$V(X_k)$を$p$を用いてそれぞれ表せ．

問２　確率変数$X$の値が$l$である確率を$P(X=l)$$\text{（}l=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$で表し，$p_l=P(X=l)$とする．$X$の確率分布が右の表で与えられるとき，表中の$p_l$を$p$を用いてそれぞれ表せ．

問３　確率変数$X$の期待値$E(X)$および分散$V(X)$を$p$を用いてそれぞれ表せ．

【１】　自然数$m$を$2$進法で表現した場合の桁数を$n$とする．その各位の数字を下の位から順に$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$b_n$と表す．$n=4$の場合について，以下の問いに答えよ．

問１　$2$進法で表現した場合${1001}_{(2)}$となる$m$の値を$10$進法で答えよ．

問２　$m$を$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_4$を用いた式で表せ．

問３　$b_1=0$の場合，$m$は偶数または奇数のどちらであるかを理由とともに答えよ．

【３】　コンピュータで図形を表現する形式の一つとして，ラスタ形式がある．ラスタ形式では，図形を画素の集まりとして，$1$画素ずつ塗りつぶすことで表現する．図４は，ラスタ形式で表現された正方形の例である．

　ここでは，図のように配置された画素の場合を考え，正方形をその頂点と四辺を構成する画素を塗りつぶすことで表現する．正方形の各頂点は$1$画素で構成される．なお各辺は水平か垂直の方向に限定される．このとき，塗りつぶした画素の数を描画コストと定義する．また，一辺の長さは一辺を構成する画素の数とし，両端の頂点も含むものとする．図４の正方形の例では，一辺の長さが$3$で描画コストは$8$となる．

　以下の問いに答えよ．

問１　一辺の長さが$5$の正方形を表現する場合の描画コストを答えよ．

問２　一辺の長さが$25$の正方形を表現する場合の描画コストを答えよ．

問３　正方形の一辺の長さを$n$とする．描画コストが$388$となる$n$を求めよ．