2023　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　方程式${\log }_{2}x-{\log }_{x}64=1$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　不等式${\displaystyle \frac{3}{10}}<{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{4}{13}}$が成り立つことを示しなさい．

[問３]　$2^{64}$の桁数を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問４]　${\log }_{10}2$が無理数であることを示しなさい．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$(1-2a):2a$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$である．また，線分$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{q}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a={\displaystyle \frac{3}{8}}$とするとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{DO}:\mathrm{OC}=t:(1-t)$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$t\text{，}$$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表しなさい．

[問２]　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{p}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\overrightarrow{q}$であるとき，$a$の値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a=1046529\text{，}$$b=6522753\text{，}$$a$と$b$の最大公約数を$m$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$m$の値を答えなさい．

(2)　$ax+by=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組を考える．このような組が存在する場合には，その組を$1$つ答えなさい．存在しない場合には，そのことを証明しなさい．

(3)　$ax+by=m$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組を$1$つ答えなさい．

(4)　$ax+by=m$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて答えなさい．

[問２]　$2$元$1$次不定方程式$cx+y=1$を考える．このとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$c$を$0$でない整数とする．このとき$cx+y=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて答えなさい．

(2)　$c$を$0$でない有理数とし，$c={\displaystyle \frac{q}{p}}$と表す．ただし，$p$は正の整数，$q$は$0$ではない整数，$p$と$q$は互いに素である．このとき$cx+y=1$を満たす整数$x\text{，}$$y$の組で$x=0\text{，}$$y=1$以外の組を考える．このような組が存在する場合には，その組を$1$つ答えなさい．存在しない場合には，そのことを証明しなさい．

【４】　$y=\sin x$で表される曲線$C$について，$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,b)$$\text{（}0<a<\pi \text{）}$における接線を$l$とする．$C$と$l\text{，}$直線$x=\pi$で囲まれる部分の面積と，$C$と$l\text{，}$$y$軸で囲まれる部分の面積の和を$S(a)$とするとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$l$の方程式を求めなさい．

(2)　$S\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$の値を求めなさい．

[問２]　$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めなさい．