2023　岩手県立大学　中期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の整数とする．袋の中に$12$個の玉が入っており，このうち$n$個が赤玉で残りは白玉である．この袋から$2$個の玉を同時に取り出し，色を調べてから袋に戻す試行を$T$とするとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　試行$T$を$1$回だけ行う．次の設問に答えなさい．

(1)　$n=4$のとき，取り出した玉が赤玉と白玉$1$個ずつである確率を求めなさい．

(2)　取り出した玉が$2$個とも同じ色である確率を$n$を用いて表しなさい．

[問２]　試行$T$を$1$回だけ行う．取り出した玉が赤玉$2$個である確率が，赤玉と白玉$1$個ずつである確率より小さいとき，次の設問に答えなさい．

(1)　$n$の値の範囲を求めなさい．

(2)　取り出した玉が$2$個とも同じ色である確率の最小値とそのときの$n$の値，最大値とそのときの$n$の値をそれぞれ求めなさい．

[問３]　試行$T$を$m$回繰り返す$\text{（}m\geqq 2\text{）．}$$n=4$のとき，$m$回のうち$k$回以上，取り出した玉が$2$個とも同じ色である確率を$P_k$とする$\text{（}0\leqq k\leqq m\text{）．}$$P_{m-1}\leqq 7P_m$となる$m$の値の範囲を求めなさい．

【２】　$xy$平面上に$3$直線$l_1\text{：}y=0\text{，}$$l_2\text{：}12x-5y=0\text{，}$ $l_3\text{：}24x+7y-408=0$がある．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$l_1$と$l_3$の交点を$\mathrm{B}\text{，}$$l_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めなさい．

[問２]　線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ求めなさい．

[問３]　$\mathrm{▵ABC}$とその内接円について，次の設問に答えなさい．なお，内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，半径を$r$とする．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABI}$の面積を$r$を用いて表しなさい．

(3)　$r$の値を求めなさい．

(4)　$\mathrm{I}$の座標を求めなさい．

【３】　正の整数$n$に対して$x_n$を$x^2-2x+1$で割った余りを$a_{n}x+b_n$とする．以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$の値をそれぞれ答えなさい．

[問２]　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いた式でそれぞれ答えなさい．

[問３]　数列$\{a_n\}$の一般項を答えなさい．

【４】　正の整数$n$に対して

$R_n(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x}}$$-\{1-x+x^2-x^3$$+\cdots +{(-1)}^n{x}^n\}$

とするとき，以下の問いに答えなさい．

[問1]　$n$を正の整数とし，$0\leqq x\leqq 1$とする．このとき，次の不等式を証明しなさい．

${\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}\leqq x^n$

[問２]　不等式

$|{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x)\mathit{dx}|\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}|R_n(x)|\mathit{dx}$

が成り立つことを利用して，次の不等式を証明しなさい．

$0\leqq |{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x)\mathit{dx}|\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+2}}$

[問３]　等式

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x)\mathit{dx}=0$

が成り立つことを利用して，次の無限級数の和を求めなさい．

$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$+\cdots +{(-1)}^n{\displaystyle \frac{1}{n+1}}+\cdots$

[問４]　不等式

$|{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x^2)\mathit{dx}|\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}|R_n(x^2)|\mathit{dx}$

が成り立つことを利用して，次の等式を証明しなさい．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{R}_n(x^2)\mathit{dx}=0$

[問５]　次の無限級数の和を求めなさい．

$1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}$$+\cdots +{(-1)}^n{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}+\cdots$