2023　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　次のデータは$10$人の学生が受験した$100$点満点のテストの結果である．

$44\text{，}$$20\text{，}$$84\text{，}$$42\text{，}$$40\text{，}$$32\text{，}$$26\text{，}$$52\text{，}$$32\text{，}$$78$（単位は点）

　このデータの平均値と中央値（メジアン）を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　$x$についての$2$次方程式$x^2+2kx+43k-460=0$が重解をもつとき，定数$k$の値を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　$a=\sqrt{7}-5\text{，}$$b=\sqrt{7}+5$のとき，${\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}$を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　曲線$y=x^3-4x+1$に接し，傾きが$-1$の接線の方程式を求めよ．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}(1-x+x^2-x^3)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は異なる整数で，$9\geqq a>b>c>d\geqq 0$とする．$1$未満の正の有理数$x\text{，}$$y$が次のように循環小数で表されているとする．

$x=0.\stackrel{\cdot \cdot }{\mathit{ab}}=0.abababab\cdots \text{，}$$y=0.\stackrel{\cdot \cdot }{\mathit{cd}}=0.cdcdcdcd\cdots$

次の問に答えよ．

(1)　$99x$の値を$a$と$b$を用いて，$\text{ア}a+\text{イ}b$表すとき，$\text{ア}$と$\text{イ}$に入る数値を求めよ．

(2)　$99x$が$2$桁の自然数であることを証明せよ．

(3)　$x\text{，}$$y$が次の条件(＊)を満たすとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組$(a,b,c,d)$をすべて求めよ．

${\displaystyle \frac{x+y}{2}}=x-y$$\cdots \text{(＊)}$

【３】　次の問に答えよ．

(1)　$\sin 2\theta$を$\sin \theta$と$\cos \theta$で表せ．さらに，$\cos 2\theta$を$\cos \theta$で表せ．

(2)　$\sin 3\theta$を$\sin \theta$と$\cos \theta$で表せ．

(3)　$\sin 4\theta$を$\sin \theta$と$\cos \theta$で表せ．

(4)　$a={\displaystyle \frac{\sin 3\theta }{\sin \theta }}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\sin 4\theta }{\sin \theta }}\text{，}$$t=\cos \theta$とおく．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

　このとき，$a$と$b$のそれぞれを$t$の整式として表せ．

(5)　等式$\sin {\displaystyle \frac{3}{7}}\pi =\sin {\displaystyle \frac{4}{7}}\pi$が成り立つことを示せ．

(6)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$のとき，(4)の$t$が満たす$3$次方程式を$1$つ求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が，$1$個のさいころを次の手順により投げ合うゲームを行う．$1$回目は$\mathrm{A}$が投げる．$1\text{，}$$3\text{，}$$5$の目が出たら投げた人が出た目の数だけ点数を獲得し，次の回も同じ人が投げる．$2\text{，}$$4\text{，}$$6$の目が出たら投げていない人が出た目の数だけ点数を獲得し，次の回は別の人が投げる．ゲームが終了した時点で得点が高い人が勝利し，同点の場合は引き分けとする．次の問に答えよ．

(1)　さいころを$1$回投げてゲームを終了するとき，$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

(2)　さいころを$2$回投げてゲームを終了するとき，$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

(3)　さいころを$2$回投げてゲームを終了するとき，$2$回目に$\mathrm{A}$が投げて$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

(4)　さいころを$2$回投げてゲームを終了するとき，$\mathrm{B}$が勝利する確率を求めよ．

(5)　さいころを$2$回投げてゲームを終了するとき，$2$回目に$\mathrm{A}$が投げて$\mathrm{B}$が勝利する確率を求めよ．

【５】　$1$辺$\mathrm{EF}$のみを共有している$2$つの正六角形$\mathrm{ABCDEF}$と正六角形$\mathrm{GFEJIH}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問に答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

　次に，$n$個$\text{（}n\geqq 2\text{）}$の正六角形を上と同様に1辺を共有させながら下の図のように並べる．また，$2$つの正六角形により共有される辺はどれも互いに平行である．正六角形$\mathrm{ABCDEF}$を$1$個目として，$n$個目の正六角形の辺で$(n-1)$個目の正六角形と共有されていない辺のうち，辺$\mathrm{FE}$と平行な辺を$\mathrm{ZY}$とする．

(4)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CZ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$と$n$を用いて表せ．

【６】　実数$a\text{，}$$b$$\text{（}a>0\text{，}$$b\ne 0\text{）}$に対して，確率変数$X$のとりうる値の範囲が$0\leqq X\leqq a$で，その確率密度関数が$f(x)={\displaystyle \frac{1}{b}}$$\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$のとき，次の問に答えよ．

(1)　実数$b$を$a$で表せ．

(2)　確率変数$X$の平均$E(X)$を$a$を用いて表せ．

(3)　確率変数$X$の分散$V(X)$を$a$を用いて表せ．

(4)　自然数$n$に対して，確率$P(0\leqq X\leqq {\displaystyle \frac{a}{n}})$を$n$を用いて表せ．

(5)　自然数$n$に対して，確率$P({\displaystyle \frac{a}{n}}\leqq X\leqq a)$を$n$を用いて表せ．