2023　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問１　${\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$の整数部分$a\text{，}$小数部分$b$を求めよ．必要なら，${\displaystyle \frac{3}{2}}<\sqrt{3}$を用いてもよい．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問２　次の方程式を解け．

$4^{{\log }_{2}x}-6x-7=0$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問３　連立不等式$\{\begin{array}{l}4x-6<x+11\\ 5x+2<11x-4\end{array}$を解け．

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問４　$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$とその原始関数$F(x)$が次の条件を満たすとき，$F(x)$を求めよ．

$6F(x)=f(x)f^{\prime }(x)\text{，}$$f(2)=0$

【１】　次の問１〜問５に答えよ．

問５　定積分${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}(1-x-x^2-x^3)\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を実数とする．次の問に答えよ．ただし，$\left|x\right|$は$x$の絶対値であり，$[x]$は$x$の整数部分，すなわち，$n\leqq x<n+1$を満たす整数$n$を表す．

(1)　方程式$|x-1|=1$を解け．

(2)　方程式$[x-1]=1$を解け．

(3)　不等式$[x]\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を解け．

(4)　次の連立$3$元$1$次方程式を解け．

(a)　$\{\begin{array}{l}x+3y-4z=2\\ x-y+3z=1\\ 5x+2y-z=3\end{array}$

(b)　$\{\begin{array}{l}x+3y-4\left|z\right|=2\\ x-y+3\left|z\right|=1\\ 5x+2y-\left|z\right|=3\end{array}$

(c)　$\{\begin{array}{l}x+3y-4[z]=2\\ x-y+3[z]=1\\ 5x+2y-[z]=3\end{array}$

【３】　直方体$\mathrm{ABCD‐PQRS}$に対して，$\mathrm{AP}=1\text{，}$$\mathrm{\angle SAD}={\displaystyle \frac{3\pi }{8}}\text{，}$$\mathrm{\angle QAB}={\displaystyle \frac{\pi }{8}}\text{，}$$\mathrm{\angle ASD}=\theta$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\theta$を求めよ．

(2)　$\mathrm{AD}$を$\tan \theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$を用いて表せ．

(4)　${\mathrm{AR}}^2$を$\theta$を用いて表せ．

(5)　${\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$の値を求めよ．

(6)　${\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$の値を求めよ．

(7)　$\mathrm{AR}$の長さを求めよ．

【４】　$1$個の重さが$34\mathrm{g}$の飴と，$26\mathrm{g}$のチョコレートがある．これらを詰め合わせて，合計でちょうど$1000\mathrm{g}$にしたい．次の問に答えよ．

(1)　飴の個数を$x\text{，}$チョコレートの個数を$y$として，合計が$1000\mathrm{g}$となることを，不定方程式を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた不定方程式の整数解$x\text{，}$$y$を求め，飴とチョコレートの個数をそれぞれ求めよ．

【５】　平面上の多角形に対して次の【操作】を考える．

【操作】 各辺を三等分して，それぞれの真ん中の線分を取り除き，その代わりに，その線分と同じ長さの辺$2$本を多角形の外側に出っ張るように付け加え，再び多角形を得る．ただし，この【操作】で辺と辺が交差することはないとする．

　$1$辺の長さが$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$に対して上の【操作】を$1$回以上行うとき．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$に対して【操作】を$1$回行った後にできる多角形の，辺の個数$c_1$と，それらの長さの和$l_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$に対して【操作】を$2$回行った後にできる多角形の，辺の個数$c_2$と，それらの長さの和$l_2$を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$に対して【操作】を$n$回行った後にできる多角形の，辺の個数$c_n$を$c_{n-1}$で表せ．ただし，$n\geqq 2$とする．

(4)　数列$\{c_n\}$の一般項を$a$と$n$で表せ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$に対して【操作】を$n$回行った後にできる多角形の，すべての辺の長さの和$l_n$を$a$と$n$で表せ．

【６】　太郎と花子がそれぞれ持ち寄った自分のさいころを$1$回振って勝負する．太郎の振るさいころは正しいさいころで，どの目$\text{（}1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{）}$の出方も同様に確からしい（等確率である）が，花子の振るさいころは奇数の目が出る確率は，偶数の目が出る確率の${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍となるさいころである．ただし，花子の振るさいころは奇数$\text{（}1\text{，}$$3\text{，}$$5\text{）}$のそれぞれの目の出方は等確率であり，偶数$\text{（}2\text{，}$$4\text{，}$$6\text{）}$のそれぞれの目の出方も等確率である．

　出た目の大きい方を勝ちとする．次の問に答えよ．

(1)　花子の振るさいころの，$1$の目の出る確率を求めよ．

(2)　花子の振るさいころの，$6$の目の出る確率を求めよ．

(3)　太郎がさいころを振って出た目の値を確率変数$X$とするとき，平均$E(X)$を求めよ．

(4)　花子がさいころを振って出た目の値を確率変数$Y$とするとき，平均$E(Y)$を求めよ．

(5)　(3)と(4)で求めた$E(X)\text{，}$$E(Y)$を用いて，この勝負で太郎と花子のいずれが有利か述べよ．